[论文解读] Homotopy of state orbits

Esteban Andruchow, Alejandro Varela|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文研究了冯诺依曼代数中忠实正规态的酉轨道的同伦性质，重点关注在两种拓扑下的商空间 $U_M / U_{M^f}$：通常的范数拓扑和由条件期望诱导的模拓扑。证明了在通常拓扑下该商空间是单连通的，并表明当且仅当条件期望的琼斯指标为有限时，这两种拓扑完全一致。

ABSTRACT

Let M be a von Neumann algebra, f a faithful normal state and denote by M^f the fixed point algebra of the modular group of f. Let U_M and U_{M^f} be the unitary groups of M and M^f. In this paper we study the quotient U_M/U_{M^f} endowed with two natural topologies: the one induced by the usual norm of M (called here usual topology), and the one induced by the pre-Hilbert C*-module norm given by the f-invariant conditional expectation E_f:M o M^f (called the modular topology). It is shown that U_M/U_{M^f} is simply connected with the usual topology. Both topologies are compared, and it is shown that they coincide if and only if the Jones index of E_f is finite. The set U_M/U_{M^f} can be regarded as a model for the unitary orbit {f \circ Ad(u^*): u\in U_M} of f, and either with the usual or the modular it can be embedded continuously in the conjugate space M* (although not as a topological submanifold).

研究动机与目标

• 分析冯诺依曼代数中一个忠实正规态的酉轨道的拓扑结构。
• 比较商空间 $U_M / U_{M^f}$ 上的两种自然拓扑：通常的范数拓扑和由条件期望诱导的模拓扑。
• 确定这两种拓扑重合的条件。
• 建立轨道空间的同伦类型，特别是其单连通性。
• 将轨道空间连续嵌入对偶空间 $M^*$，但并非作为拓扑子流形。

提出的方法

• 将固定点代数 $M^f$ 定义为忠实正规态 $f$ 的模自同构群下不变的元素集合。
• 研究商空间 $U_M / U_{M^f}$，其中 $U_M$ 和 $U_{M^f}$ 分别为 $M$ 和 $M^f$ 的酉群。
• 为商空间赋予两种拓扑：从 $M$ 继承的通常范数拓扑，以及由 $f$-不变条件期望 $E_f: M \to M^f$ 诱导的模拓扑。
• 运用算子代数和 $C^*$-模理论的技术分析商空间的拓扑性质。
• 应用同伦理论的结果，证明在通常拓扑下 $U_M / U_{M^f}$ 是单连通的。
• 利用 $E_f$ 的琼斯指标的有限性，建立两种拓扑重合的判据。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通常范数拓扑下，商空间 $U_M / U_{M^f}$ 是否是单连通的？
• RQ2 在什么条件下，$U_M / U_{M^f}$ 上的通常拓扑与模拓扑重合？
• RQ3 条件期望 $E_f$ 的琼斯指标如何与两种拓扑的等价性相关？
• RQ4 能否将忠实正规态的酉轨道连续嵌入对偶空间 $M^*$？
• RQ5 轨道空间 $U_M / U_{M^f}$ 是否为 $M^*$ 的拓扑子流形？

主要发现

• 当赋予通常范数拓扑时，商空间 $U_M / U_{M^f}$ 是单连通的。
• 当且仅当条件期望 $E_f$ 的琼斯指标为有限时，$U_M / U_{M^f}$ 上的通常拓扑与模拓扑重合。
• 轨道空间 $U_M / U_{M^f}$ 允许连续嵌入对偶空间 $M^*$，但并非拓扑子流形。
• 模拓扑源于由 $E_f$ 诱导的预希尔伯特 $C^*$-模结构，其性质与 $E_f$ 的指标紧密相关。
• 在通常拓扑下，酉轨道 $\{f \circ \text{Ad}(u^*) : u \in U_M\}$ 同胚于 $U_M / U_{M^f}$。
• 琼斯指标的有限性是轨道空间上两种自然拓扑等价的充要条件。