[论文解读] Homotopy properties of endpoint maps and a theorem of Serre in subriemannian geometry

Francesco Boarotto, Antonio Lerario|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文在仿射控制系统的 $W^{1,p}$ 拓扑下（$1 < p < p_c$），证明了端点映射是 Hurewicz 纤维丛，其中在子黎曼情形（$X_0 = 0$）下 $p_c = \infty$。它证明了在紧致底流形上，几何代价函数的临界点数量是无限的，将 Serre 在紧致黎曼流形上存在无限多条测地线的经典定理推广到了子黎曼几何，并表明在 $W^{1,2}$ 拓扑下，水平环路空间具有 CW 复形的同伦类型。

ABSTRACT

We discuss homotopy properties of endpoint maps for affine control systems. We prove that these maps are Hurewicz fibrations with respect to some $W^{1,p}$ topology on the space of trajectories, for a certain $p&gt;1$. We study critical points of geometric costs for these affine control systems, proving that if the base manifold is compact then the number of their critical points is infinite (we use Lusternik-Schnirelmann category combined with the Hurewicz property). In the special case where the control system is subriemannian this result can be read as the corresponding version of Serre's theorem, on the existence of infinitely many geodesics between two points on a compact riemannian manifold. In the subriemannian case we show that the Hurewicz property holds for all $p\geq1$ and the horizontal-loop space with the $W^{1,2}$ topology has the homotopy type of a CW-complex (as long as the endpoint map has at least one regular value); in particular the inclusion of the horizontal-loop space in the ordinary one is a homotopy equivalence.

研究动机与目标

• 在仿射控制系统的 $W^{1,p}$ 拓扑下，建立端点映射的同伦理论性质。
• 将 Serre 在紧致黎曼流形上关于无限多条测地线的经典结果推广到子黎曼情形。
• 利用 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类和 Hurewicz 纤维丛分析水平路径空间与环路空间的拓扑结构。
• 证明在子黎曼情形下，水平环路空间到全环路空间的包含映射在 $W^{1,2}$ 拓扑下是同伦等价。
• 根据控制系统的结构，刻画 Hurewicz 纤维丛性质的正则性阈值 $p_c$。

提出的方法

• 在控制空间 $u = (u_1, ..., u_d) \in L^p([0,1], \mathbb{R}^d)$ 上使用 $W^{1,p}$ 拓扑，为水平轨迹空间赋予 Banach 流形结构。
• 通过同伦提升性质，证明端点映射 $F: \Omega \to M$, $\gamma \mapsto \gamma(1)$ 在 $1 \leq p < p_c$ 时是 Hurewicz 纤维丛。
• 应用隐函数定理，并通过变分方程线性化端点映射，证明 $F$ 的 $C^1$-可微性。
• 利用控制的 $L^p$-范数定义几何代价，并通过 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类分析其临界点。
• 建立单值矩阵 $N_{u_n} \to N_u$ 的一致收敛性，以及在弱 $L^p$ 收敛下微分 $d_uF$ 的连续性。
• 利用向量场的光滑性与轨迹的紧致性，推导出二阶变分与流扰动的统一估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在轨迹空间的何种拓扑下，端点映射是 Hurewicz 纤维丛？
• RQ2 在仿射控制系统中，Hurewicz 纤维丛性质的临界正则性阈值 $p_c$ 是什么？
• RQ3 子黎曼情形（$X_0 = 0$）是否对所有 $p \geq 1$ 都具有 Hurewicz 纤维丛性质？
• RQ4 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类能否用于证明在紧致流形上几何代价函数存在无限多个临界点？
• RQ5 在子黎曼情形下，水平环路空间到全环路空间的包含映射在 $W^{1,2}$ 拓扑下是否为同伦等价？

主要发现

• 当 $1 \leq p < p_c$ 时，端点映射 $F: \Omega \to M$ 在 $W^{1,p}$ 拓扑下是 Hurewicz 纤维丛，其中 $p_c > 1$ 依赖于控制系统 $\mathcal{F}$。
• 在子黎曼情形（$X_0 = 0$）下，端点映射对所有 $1 \leq p < \infty$ 都是 Hurewicz 纤维丛，即 $p_c = \infty$。
• 在紧致底流形上，几何代价函数的临界点数量是无限的，该结论通过结合 Hurewicz 纤维丛性质与 Lusternik-Schnirelmann 亚纯类得以证明。
• 在 $W^{1,2}$ 拓扑下，水平环路空间具有 CW 复形的同伦类型，前提是端点映射至少存在一个正则值。
• 在子黎曼情形下，水平环路空间到全环路空间的包含映射在 $W^{1,2}$ 拓扑下是同伦等价。
• 在控制的弱 $L^p$ 收敛下，端点映射的微分 $d_uF$ 是连续的，且当 $p > 1$ 时，$F$ 在 $W^{1,p}$ 上是 $C^1$-可微的。