[论文解读] Homotopy L-infinity spaces

Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文引入了同伦 L-infinity 空间——局部模型为 Costello 的 L-infinity 空间的结构化空间——作为代数、解析和光滑设定下衍生几何的新框架。关键结果表明，在紧致复流形上，具有固定行列式复向量丛的简单全纯结构的模空间自然地具有解析同伦 L-infinity 增强，提供了一种子复形结构，捕捉了奇异模空间中隐藏的光滑性。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new class of structured spaces which is locally modeled by Costello's L-infinity spaces. This provides an alternative approach to study the derived geometric structures in the algebraic, analytic, or smooth category. Our main result asserts that on a compact complex manifold, the moduli space of simple holomorphic structures on a complex vector bundle with a fixed determinant bundle, admits a natural analytic homotopy L-infinity enhancement.

研究动机与目标

• 开发一类新的结构化空间——同伦 L-infinity 空间——其局部模型为 Costello 的 L-infinity 空间，用于衍生几何。
• 在代数、解析和光滑范畴中，为衍生几何结构提供一种替代方法。
• 建立模空间的同伦理论增强，通过 L-infinity 代数捕捉隐藏的光滑性。
• 证明在紧致复流形上，具有固定行列式的复向量丛的简单全息结构的模空间自然地具有解析同伦 L-infinity 增强。

提出的方法

• 使用 Costello 的 L-infinity 空间形式作为局部模型，以 L-infinity 代数替代交换代数作为基础结构。
• 应用隐藏光滑性原理：在点处的切复形为移位的 Ext-复形，其上同调计算 Ext 群。
• 通过复形 $C(A, B ⊗ Ω_{Δ^\bullet}^*)$ 构造一个单纯 $L_∞$ 代数，其有界性由组合树算子和对称化保证。
• 通过带标记树相关算子的运算符复合来定义 $L_∞$ 结构，利用平面实现和自同构不变性。
• 利用单纯 $L_∞$ 代数的 Kan 复形性质构造锥的填充，确保在有界范畴中存在提升。
• 应用涉及带标记树求和的非归纳公式来定义 Maurer-Cartan 元素，证明结构的有界性和良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 L-infinity 代数而非交换代数，在全纯丛模空间上构造衍生几何结构？
• RQ2 在具有固定行列式的复向量丛上，简单全息结构的模空间是否在解析范畴中具有同伦理论增强？
• RQ3 如何通过 $L_∞$ 结构形式化隐藏光滑性原理——即奇异模空间通过上同调切复形表现得如同光滑空间？
• RQ4 此类模空间上的衍生结构能否增强为解析 $L_∞$ 空间，特别是在紧致复流形上？
• RQ5 单纯 $L_∞$ 代数和有界 Maurer-Cartan 元素在实现此类增强中起什么作用？

主要发现

• 在紧致复流形上，具有固定行列式的复向量丛的简单全息结构的模空间自然地具有解析同伦 L-infinity 增强。
• 该增强通过 $C(A, B ⊗ Ω_{Δ^\bullet}^*)$ 上的单纯 $L_∞$ 代数结构构建，其被证明是 Kan 复形且有界。
• Maurer-Cartan 元素通过涉及带标记树求和的非归纳公式定义，其系数由对称化和自同构因子确定。
• 由于底层算子的有界性以及树的数量的指数控制，$L_∞$ 结构的有界性得以保证。
• 该构造确保单纯集中的锥填充存在于有界范畴内，从而证明了 Kan 性质，并实现了增强。
• 该框架为衍生几何提供了一种新的、替代性的方法，使用 $L_∞$ 代数作为局部模型，与 dg 算法或衍生代数几何中使用的交换代数对偶。