[论文解读] Homotopy techniques for solving sparse column support determinantal polynomial systems

George Labahn, Mohab Safey El Din+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 52被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于同伦的算法，通过利用几何消去和直线程序求解稀疏列支撑行列式多项式系统。该算法实现了零维参数化的高效计算，复杂度上限为 Õ(n⁴Γd) 次运算，将先前方法扩展至具有缩减正则序列的结构化多项式系统。

ABSTRACT

Let $\\mathbf{K}$ be a field of characteristic zero with $\\overline{\\mathbf{K}}$ its algebraic closure. Given a sequence of polynomials $\\mathbf{g} = (g_1, \\ldots, g_s) \\in \\mathbf{K}[x_1, \\ldots , x_n]^s$ and a polynomial matrix $\\mathbf{F} = [f_{i,j}] \\in \\mathbf{K}[x_1, \\ldots, x_n]^{p \ imes q}$, with $p \\leq q$, we are interested in determining the isolated points of $V_p(\\mathbf{F},\\mathbf{g})$, the algebraic set of points in $\\overline{\\mathbf{K}}$ at which all polynomials in $\\mathbf{g}$ and all $p$-minors of $\\mathbf{F}$ vanish, under the assumption $n = q - p + s + 1$. Such polynomial systems arise in a variety of applications including for example polynomial optimization and computational geometry. We design a randomized sparse homotopy algorithm for computing the isolated points in $V_p(\\mathbf{F},\\mathbf{g})$ which takes advantage of the determinantal structure of the system defining $V_p(\\mathbf{F}, \\mathbf{g})$. Its complexity is polynomial in the maximum number of isolated solutions to such systems sharing the same sparsity pattern and in some combinatorial quantities attached to the structure of such systems. It is the first algorithm which takes advantage both on the determinantal structure and sparsity of input polynomials. We also derive complexity bounds for the particular but important case where $\\mathbf{g}$ and the columns of $\\mathbf{F}$ satisfy weighted degree constraints. Such systems arise naturally in the computation of critical points of maps restricted to algebraic sets when both are invariant by the action of the symmetric group.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法以求解稀疏列支撑行列式多项式系统。
• 将几何消去技术扩展至由缩减正则序列定义的结构化系统。
• 利用直线程序实现多项式系统的紧凑表示与高效求值。
• 为这类系统的零维参数化实现更优的计算复杂度。
• 为具有结构化稀疏性的应用中出现的系统提供实用求解方法。

提出的方法

• 该方法使用长度为 Γ 的直线程序表示输入系统，并计算所有相关多项式 Θρ(𝓜ⱼ)。
• 将 Gianni、Lecerf 和 Salvy（2001）提出的几何消去算法应用于由缩减正则序列 Θρ(𝓜ⱼ) 定义的系统。
• 利用稀疏列支撑的结构，计算解集的零维参数化。
• 通过验证该序列定义的是完备交集或空集，确保算法的正确性。
• 复杂度分析基于 n（变量数量）、Γ（程序长度）和 d（次数），实现 Õ(n⁴Γd) 次运算。
• 该方法依赖符号计算技术，并通过直线程序实现高效求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 同伦技术如何被适配以高效求解稀疏列支撑行列式系统？
• RQ2 此类系统零维参数化的计算复杂度是多少？
• RQ3 几何消去能否应用于可能提前终止的缩减正则序列所定义的系统？
• RQ4 直线程序的使用如何提升求解这些结构化系统的效率？
• RQ5 稀疏性与列支撑结构在实现更快计算中起到什么作用？

主要发现

• 该算法成功利用几何消去方法计算了 Θρ(𝓜ⱼ) 解集的零维参数化。
• 即使序列提前终止（可能定义空集），该方法依然有效。
• 计算复杂度被限制在 Õ(n⁴Γd) 次运算内，其中 Γ 为直线程序的长度。
• 直线程序的使用使得所有必需多项式 Θρ(𝓜ⱼ) 及中间表达式的高效求值成为可能。
• 该方法将现有方法推广至具有稀疏列支撑的结构化系统，在此类情形下提升了效率。
• 该框架确保了由缩减正则序列定义的系统的正确性与完备性。