[论文解读] Homotopy Theory of Labelled Symmetric Precubical Sets

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过一个长度为二的Quillen等价链，在标记对称预立方集的模型范畴与立方转移系统的Bousfield局部化之间建立了Quillen等价。它证明了从预立方集到立方转移系统的实现函子虽然不是左Quillen函子，但通过中间模型结构诱导出同伦等价，且弱等价与双生性紧密相关，HDA范式保留了关键的并发语义。

ABSTRACT

This paper is the third paper of a series devoted to higher dimensional transition systems. The preceding paper proved the existence of a left determined model structure on the category of cubical transition systems. In this sequel, it is proved that there exists a model category of labelled symmetric precubical sets which is Quillen equivalent to the Bousfield localization of this left determined model category by the cubification functor. The realization functor from labelled symmetric precubical sets to cubical transition systems which was introduced in the first paper of this series is used to establish this Quillen equivalence. However, it is not a left Quillen functor. It is only a left adjoint. It is proved that the two model categories are related to each other by a zig-zag of Quillen equivalences of length two. The middle model category is still the model category of cubical transition systems, but with an additional family of generating cofibrations. The weak equivalences are closely related to bisimulation. Similar results are obtained by restricting the constructions to the labelled symmetric precubical sets satisfying the HDA paradigm.

研究动机与目标

• 在并发理论中为标记对称预立方集建立同伦理论框架。
• 证明标记对称预立方集的模型范畴与立方转移系统的Bousfield局部化之间的Quillen等价。
• 阐明从预立方集到立方转移系统的实现函子在联系这两个范畴中的作用。
• 在HDA范式下扩展这些结果，确保与标准过程代数语义的兼容性。
• 证明局部化模型范畴中的弱等价在高维自动机的上下文中对应于双生性。

提出的方法

• 利用Olschok构造，在立方转移系统上生成一个左决定的模型结构。
• 引入一个从标记对称预立方集到立方转移系统的实现函子，该函子为左伴随但不是左Quillen函子。
• 通过向立方转移系统范畴中添加一族生成协纤维化，构建一个中间模型范畴。
• 使用立方化函子作为局部化函子，对立方转移系统范畴应用Bousfield局部化。
• 通过长度为二的Quillen等价链，将标记对称预立方集的模型范畴与局部化的立方转移系统联系起来。
• 证明在局部化模型范畴中得到的弱等价与高维自动机上下文中的双生性等价一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在标记对称预立方集的模型范畴与立方转移系统的Bousfield局部化之间建立Quillen等价？
• RQ2 尽管实现函子从预立方集到立方转移系统不是左Quillen函子，它如何与同伦结构相关联？
• RQ3 立方化函子在定义立方转移系统局部化模型范畴中的弱等价时起什么作用？
• RQ4 局部化模型范畴中的弱等价在高维自动机的上下文中如何对应于双生性？
• RQ5 这些构造在多大程度上保持了HDA范式，特别是在建模过程并行组合方面？

主要发现

• 在标记对称预立方集上存在一个模型范畴结构，通过立方化函子与立方转移系统的左决定模型范畴的Bousfield局部化呈Quillen等价。
• 从标记对称预立方集到立方转移系统的实现函子是左伴随但不是左Quillen函子，因此需要一个长度为二的Quillen等价链。
• 中间模型范畴是配备有一族额外生成协纤维化的立方转移系统范畴。
• 证明了局部化模型范畴中的弱等价与双生性密切相关，后者是并发理论中的关键等价关系。
• 结果已扩展至HDA范式，在此范式中，过程代数的语义自然被捕捉，无需引入横截退化映射或复杂的组合构造。
• 通过两个Quillen等价的复合建立了Quillen等价：一个从预立方集到中间HDA模型，另一个从HDA模型到局部化的立方转移系统。