[论文解读] Homotopy Theory of linear cogebras

Brice Le Grignou, Damien Lejay|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过引入完备曲代数的范畴，为余代数（如 $σ\mathcal{E}_\infty$、$σ\mathcal{A}_\infty$ 和 $σ\mathcal{L}_\infty$）建立了同伦理论，该范畴支持一个与余代数的模型范畴结构 quasi-equivalent 的模型范畴结构。关键贡献在于，无需局部余幂零性或曲率自由的 quasi-isomorphism 理论，即可为余代数提供一个同伦理论框架。

ABSTRACT

We study extensively the homotopy theory of cogebras. By cogebras, we mean the full theory of cogebras: with counits and not necessarily locally conilpotent. For example $\mathcal E_\infty$-cogebras, $\mathcal A_\infty$-cogebras, $\mathcal L_\infty$-cogebras etc. To do so, we define the category of complete curved algebras --- where the notion of quasi-isomorphims does not make sense --- and endow it with a model category structure, equivalent to that of the category of cogebras.

研究动机与目标

• 为余代数（包括非局部余幂零的余代数）发展一个全面的同伦理论。
• 通过引入一个新范畴，解决曲代数中缺乏有意义的 quasi-isomorphism 概念的问题。
• 在完备曲代数上构建一个与余代数同伦理论等价的模型范畴结构。
• 将现有代数的同伦理论框架推广至具有余单位的余代数对偶设置。
• 为非余幂零余代数（如 $σ\mathcal{E}_\infty$-余代数）的导出与同伦方法提供基础。

提出的方法

• 将完备曲代数的范畴定义为自然容纳曲率与非余幂零性的设定。
• 在完备曲代数上引入模型范畴结构，使用适配于曲结构的纤维化、协纤维化和弱等价。
• 在完备曲代数的模型范畴与余代数范畴之间建立 Quillen 等价。
• 利用曲微分分次结构来建模余代数中的高阶同伦一致性。
• 运用导出代数与同调代数的技术处理非余幂零与非协纤维化对象。
• 利用代数与余代数之间的对偶性，将同伦结构从代数转移到余代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非必然局部余幂零或以标准方式曲率的余代数发展同伦理论？
• RQ2 哪类曲代数范畴支持一个与余代数同伦理论等价的良好行为的模型结构？
• RQ3 能否通过引入新的模型范畴框架，绕过曲代数中缺乏 quasi-isomorphism 的问题？
• RQ4 余代数的同伦理论与完备曲代数范畴之间有何关系？
• RQ5 在缺乏余幂零性的情况下，如何对 $σ\mathcal{E}_\infty$-余代数等高阶代数结构进行同伦处理？

主要发现

• 完备曲代数的范畴具有明确定义的模型范畴结构，解决了曲代数中缺乏 quasi-isomorphism 理论的问题。
• 该模型范畴与余代数范畴 Quillen 等价，为余代数建立了同伦理论基础。
• 该框架可统一应用于多种余代数，包括 $σ\mathcal{E}_\infty$、$σ\mathcal{A}_\infty$ 和 $σ\mathcal{L}_\infty$-余代数。
• 该构造无需局部余幂零性，将同伦理论扩展至更广泛的余代数类别。
• 完备曲代数上的模型结构为在余代数设定中定义同伦极限、同伦余极限与导出函子提供了自然方式。
• 在同伦设定下，代数与余代数之间的对偶性得以保持，从而可将代数中的结果转移至余代数。