[论文解读] Hopf Algebras and Congruence Subgroups

Yorck Sommerhaeuser, Yongchang Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 15

一句话总结

本文证明了半单霍普夫代数的德林费 尔德双代数中心上模群作用的核是一个同余子群，其模数等于该霍普夫代数的指数。通过引入具有相容模群作用的等变弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标，作者证明了这一同余子群定理，将有理共形场论中的班塔伊结果推广至半单霍普夫代数的框架，并通过高阶指标将指数与德林费 尔德元素联系起来。

ABSTRACT

We prove that the kernel of the natural action of the modular group on the center of the Drinfel'd double of a semisimple Hopf algebra is a congruence subgroup. To do this, we introduce a class of generalized Frobenius-Schur indicators and endow it with an action of the modular group that is compatible with the original one.

研究动机与目标

• 建立半单霍普夫代数的德林费 尔德双代数中心上模群作用的同余子群定理。
• 将有理共形场论中班塔伊关于同余子群的结果推广至半单霍普夫代数的框架。
• 引入并研究具有模群相容作用的等变弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标。
• 将半单霍普夫代数的指数与德林费 尔德元素的阶及同余子群的模数联系起来。
• 统一两条研究思路：共形场论中的模群作用与霍普夫代数中指数的有限性。

提出的方法

• 在德林费 尔德双代数的中心上引入一类新的广义弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标——称为等变弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标。
• 为这些指标赋予一个与模群在中心上作用相容的模群的射影作用。
• 利用来自模群生成元 S 的韦尔林德矩阵，关联不同形式的指标公式并建立关键恒等式。
• 借助诱导函子的对偶性与一致性性质，将德林费 尔德双代数的中心与模群的表示理论联系起来。
• 应用伽罗瓦群在特征标环与中心上的作用，研究不变性性质并将其与模群作用联系起来。
• 使用新映射的矩阵表示与霍普夫符号，分析核的结构并证明同余子群定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 半单霍普夫代数的德林费 尔德双代数中心上模群作用的核是否为一个同余子群？
• RQ2 高阶弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标应如何推广，以携带与中心结构相容的模群作用？
• RQ3 半单霍普夫代数的指数与模群作用产生的同余子群的模数之间有何关系？
• RQ4 伽罗瓦群与模群作用在德林费 尔德双代数的中心上如何相互作用？
• RQ5 韦尔林德矩阵与指标之间的相互作用能否用于证明同余子群定理？

主要发现

• 半单霍普夫代数的德林费 尔德双代数中心上模群作用的核是一个模数等于该霍普夫代数指数的同余子群。
• 引入等变弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标为模群在中心上提供了相容作用，从而使得同余子群定理的证明成为可能。
• 半单霍普夫代数的指数等于德林费 尔德双代数中德林费 尔德元素的阶，从而将霍普夫代数理论与模群表示理论联系起来。
• 来自模群 S-生成元的韦尔林德矩阵连接了高阶弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标的不同公式，这对证明至关重要。
• 模群在因子化半单霍普夫代数中心上的射影作用与指标的等变结构相容。
• 证明了霍普夫符号在伽罗瓦群作用下保持不变，并在刻画同余子群中起关键作用。