[论文解读] Hopf Algebras of m-permutations, (m+1)-ary trees, and m-parking functions

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 29被引用 18

一句话总结

本文通过定义新的同余关系——hypoplactic（超西尔维斯特）与metasylvester（超梅塔西尔维斯特）——引入了经典组合Hopf代数的m-类比，如对排列、压缩词和停车函数的类比。这些同余关系推广了sylvester同余，从而得到基于(m+1)-叉树、m-排列和m-停车函数的Hopf代数，其乘法对应于m-Tamari格中的区间。主要贡献在于系统性地构建了这些m-类比Hopf代数，以自然方式统一并扩展了非交换对称函数与拟对称函数的理论。

ABSTRACT

The m-Tamari lattice of F. Bergeron is an analogue of the clasical Tamari order defined on objects counted by Fuss-Catalan numbers, such as m-Dyck paths or (m+1)-ary trees. On another hand, the Tamari order is related to the product in the Loday-Ronco Hopf algebra of planar binary trees. We introduce new combinatorial Hopf algebras based on (m+1)-ary trees, whose structure is described by the m-Tamari lattices. In the same way as planar binary trees can be interpreted as sylvester classes of permutations, we obtain (m+1)-ary trees as sylvester classes of what we call m-permutations. These objects are no longer in bijection with decreasing (m+1)-ary trees, and a finer congruence, called metasylvester, allows us to build Hopf algebras based on these decreasing trees. At the opposite, a coarser congruence, called hyposylvester, leads to Hopf algebras of graded dimensions (m+1)^{n-1}, generalizing noncommutative symmetric functions and quasi-symmetric functions in a natural way. Finally, the algebras of packed words and parking functions also admit such m-analogues, and we present their subalgebras and quotients induced by the various congruences.

研究动机与目标

• 将组合Hopf代数理论扩展至排列、压缩词与停车函数等经典结构的m-类比。
• 在m-排列与m-压缩词上定义新的同余关系——hypoplactic与metasylvester——以推广sylvester同余。
• 构建基于(m+1)-叉树、m-排列与m-停车函数的Hopf代数，其乘法结构反映m-Tamari格的序关系。
• 通过hypoplactic商代数的分次维数(m+1)^{n-1}，推广非交换对称函数与拟对称函数。
• 通过函数方程与双射关系，建立m-Tamari格、m-Dyck路径与Hopf代数之间的联系。

提出的方法

• 在m-排列与m-压缩词上引入hypoplactic与metasylvester同余关系，以细化sylvester同余。
• 使用m-标准化定义自由m-拟对称函数的Hopf代数，记为${}^{m}{\bf FQSym}$，作为FQSym的推广。
• 通过${}^{m}{\bf FQSym}$对metasylvester与hypoplactic同余取商，构造子代数，其指标分别为递减的(m+1)-叉树与hypoplactic类。
• 建立sylvester类的m-排列与(m+1)-叉树之间的双射，推广m=1时的Loday-Ronco构造。
• 应用函数方程与生成函数，枚举m-排列、m-压缩词与m-停车函数中sylvester、hypoplactic与metasylvester类的数量。
• 以plactic与hypoplactic同余为参照，比较与对比新同余关系在Hopf代数结构中的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将排列上的sylvester同余推广至m-排列，以得到以(m+1)-叉树为指标的Hopf代数？
• RQ2 m-排列与m-压缩词上的新hypoplactic与metasylvester同余关系具有哪些组合与代数性质？
• RQ3 结果Hopf代数的分次维数(m+1)^{n-1}如何推广非交换对称函数与拟对称函数？
• RQ4 m-Tamari格与(m+1)-叉树Hopf代数的乘法结构之间存在何种关系？
• RQ5 m-压缩词与m-停车函数Hopf代数的各类商代数（sylvester、hypoplactic、metasylvester、hypoplactic）与已知组合数列之间有何关联？

主要发现

• m-排列的sylvester类与(m+1)-叉树之间存在双射，推广了m=1时的Loday-Ronco构造。
• 自由m-拟对称函数Hopf代数${}^{m}{\bf FQSym}$同构于经典FQSym代数的子代数。
• ${}^{m}{\bf FQSym}$的hypoplactic商代数得到一个分次维数为(m+1)^{n-1}的Hopf代数，推广了非交换对称函数。
• metasylvester商代数得到递减的(m+1)-叉树的Hopf代数，其维数与m=1时的序列A000272一致，并推广至m>1时的A052750、A052752等序列。
• 对于m-停车函数，sylvester类的数量在m=1时为序列A001764，推广至m>1时为A002294、A002296等序列。
• m-停车函数的metasylvester类的计数猜想由A132624给出，其首行与m=1时的已知序列一致。