[论文解读] Hopf algebras, tetramodules, and n-fold monoidal categories

Boris Shoikhet|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文在结合代数的四模态范畴上建立了2重张量结构，表明其Ext^*空间通过Yoneda积自然形成一个3代数。进一步证明了任意霍普夫代数的Gerstenhaber-Schack上同调自然携带一个3代数结构，并识别出一个稳定同伦群的operad作用于Z-平坦代数的Hochschild上同调上。

ABSTRACT

The abelian category of tetramodules over an associative bialgebra $A$ is related with the Gerstenhaber-Schack (GS) cohomology as $Ext_\Tetra(A,A)=H_\GS(A)$. We construct a 2-fold monoidal structure on the category of tetramodules of a bialgebra. Suppose $C$ is an abelian $n$-fold monoidal category with the unit object $A$. We prove, provided some condition (*), that $Ext_C(A,A)$ is an $(n+1)$-algebra. In the case of bialgebras this condition (*) is satisfied when $A$ is a Hopf algebra. Finally, the GS cohomology of a Hopf algebra is a 3-algebra. As well, we consider this kind of questions of (bi)algebras over integers. Let $A$ be an associative algebra over $Z$ flat over $Z$. We prove that the operad acting on its Hochschild cohomology is the operad of stable homotopy groups of the little discs operad.

研究动机与目标

• 在结合代数A的四模态范畴上构造一个2重张量结构。
• 证明在n重张量阿贝尔范畴C中，若其单位为A，则Ext^*_{C}(A,A)自然携带(n+1)-代数结构。
• 识别出作用于Z-平坦结合代数Hochschild上同调上的operad，并阐明其与稳定同伦群的关系。
• 通过n重张量范畴，定义从拓扑空间到分次向量空间的反变函子。
• 建立Gerstenhaber-Schack上同调与更高阶代数结构（如3代数）之间的联系。

提出的方法

• 在结合代数A的四模态范畴Tetra(A)上构造2重张量结构。
• 利用Yoneda积在n重张量阿贝尔范畴C中定义Ext^*_{C}(A,A)上的分次(n+1)-代数结构，其中C的单位为A。
• 定义一个operad O^Z_n = π^{stab}_{-i}(D^2_n)，其作用于Z-平坦代数的Hochschild上同调。
• 利用Ext^*_{Tetra(A)}(A,A)通过自由模与余自由余模的投射分解，与Gerstenhaber-Schack上同调同构的事实。
• 应用普遍δ-函子性质，证明通过投射分解计算的Ext与标准Ext函子一致。
• 在四模态范畴中使用Koszul投射分解计算S(V)的上同调，结果为V及其对偶的外幂的直和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在结合代数的四模态范畴上构造2重张量结构？
• RQ2 在具有共同单位A的n重张量阿贝尔范畴中，Ext^*_{C}(A,A)上会自然出现何种代数结构？
• RQ3 作用于Z-平坦结合代数Hochschild上同调的operad是什么？其与稳定同伦群有何关系？
• RQ4 Gerstenhaber-Schack上同调为何能自然地携带3代数结构？
• RQ5 能否通过四模态范畴上的2重张量结构显式验证S(V)上同调的3代数结构？

主要发现

• 结合代数A的四模态范畴具有2重张量结构。
• 对于任意具有单位A的n重张量阿贝尔范畴C，其分次Ext^*_{C}(A,A)通过Yoneda积自然携带(n+1)-代数结构。
• 任意霍普夫代数A的Gerstenhaber-Schack上同调是3代数，这是Tetra(A)上2重张量结构的直接推论。
• Z-平坦结合代数A的Hochschild上同调自然作用于一个operad，其第k个分量为稳定同伦群π^{stab}_{-i}(D^2_k)的分次空间。
• 当A = S(V)时，Gerstenhaber-Schack上同调计算为H^k_{GS}(A) = ⨁_{i+j=k} Λ^i V ⊗ Λ^j(V*)，并具有自然的3代数结构。
• H^k_{GS}(S(V))上的3代数结构预期与Tetra(S(V))上2重张量结构诱导的3代数结构一致，但显式验证留作猜想。