[论文解读] How Clifford algebra can help understand second quantization of fermion and boson fields

N. S. Mankoč Borštnik|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2022

International Science and Diplomacy被引用 4

一句话总结

本文表明，通过将费米子的内态与奇数阶克利福德对象关联、将玻色子态与偶数阶对象关联，克利福德代数为费米子场和玻色子场的二次量子化提供了一个统一的框架。费米子产生/湮灭算符的反对易关系以及玻色子场的对易关系自然地源于代数结构，为高维时空（d ≥ 13+1）中二次量子化公设提供了几何起源。

ABSTRACT

In the review article in Progress in Particle and Nuclear Physics (vol.121(2021) 103890)) the authors present the achievements so far of the spin-charge-family theory, which offers the explanation for all the so far observed properties of elementary fermion and boson fields, if the space-time is higher than d=(3+1), it must be $d\ge (13+1)$. Fermions interact with gravity only. Ref. PPNP (vol.121(2021) 103890)) presents, in addition to a rather detailed review of all the achievements of this theory so far, also an explanation for the postulates of the second quantization for fermionic fields: The internal space of fermions described with "basis vectors" represented by the Clifford odd objects manifests all the properties of fermion fields, including the anticommutativity of their creation and annihilation operators. This paper shows that even Clifford algebra objects provide a description of the internal space of boson fields manifesting all known properties of boson fields, explaining as well the reasons for the second quantization postulates for boson fields. Properties of fermion and boson fields with the internal spaces described by the Clifford odd and Clifford even objects are demonstrated on the toy model with $d=(5+1)$.

研究动机与目标

• 通过克利福德代数为费米子场和玻色子场的二次量子化提供几何与代数基础。
• 通过克利福德代数对象的分次结构，解释为何费米子场服从反对易关系，而玻色子场服从对易关系。
• 证明费米子的内空间自然由 γ 矩阵的奇数重积描述，而玻色子则源于偶数重积。
• 表明两种场的二次量子化公设可从克利福德代数的代数性质中自然导出，无需人为假设。
• 将自旋-电荷族理论扩展至包含规范玻色子作为二次量子化场的自洽描述，通过偶数阶克利福德结构实现。

提出的方法

• 在 d = (13+1) 时空维度中利用克利福德代数结构，其中 γ^a 矩阵及其对偶 ˜γ^a 生成两个正交的子代数。
• 将费米子内态建模为 γ^a 矩阵奇数阶积的叠加，其内在具有反对易性。
• 将玻色子内态建模为 γ^a 矩阵偶数阶积的叠加，其张量积运算下具有对易性。
• 将产生与湮灭算符构造为这些基向量与动量/坐标基的张量积，以保持代数统计性质。
• 应用洛伦兹生成元分解 S^ab = (i/4)(γ^aγ^b − γ^bγ^a) 和 ˜S^ab = (1/4)(˜γ^a˜γ^b − ˜γ^b˜γ^a)，将对称性与规范场及电荷联系起来。
• 使用 d = (5+1) 的模型作为示例，展示高维前的代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 克利福德代数如何为费米子场的二次量子化公设提供几何起源？
• RQ2 为何费米子的产生与湮灭算符反对易？这一性质能否从代数结构中推导，而非人为假设？
• RQ3 玻色子场的二次量子化是否也能从偶数阶克利福德对象的代数性质中推导？
• RQ4 在高维（d ≥ 13+1）中，费米子与玻色子的内自由度如何重现标准模型观测到的量子数？
• RQ5 两个独立的克利福德子代数（奇数阶与偶数阶）在分别生成费米子与玻色子统计性质中分别起什么作用？

主要发现

• 费米子的产生与湮灭算符继承自奇数阶克利福德基向量的反对易性，无需额外假设即可重现二次量子化公设。
• 由偶数阶克利福德基向量描述的玻色子场，在二次量子化框架中自然产生对易关系。
• 在 d = (5+1) 的模型中，克利福德偶数与奇数对象的代数结构正确再现了费米子与玻色子的统计性质。
• 费米子的内空间由 γ^a 矩阵奇数重积的叠加描述，其反对易且构成奇数阶克利福德代数。
• 玻色子的内空间由 γ^a 矩阵偶数重积描述，其对易且构成偶数阶克利福德代数。
• 该理论在 d ≥ (13+1) 时空维度下，基于克利福德代数的分次结构，统一了费米子与玻色子的二次量子化。