[论文解读] How hard is the tensor rank?

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 32被引用 21

一句话总结

本文证明，在任意整环上计算张量秩的问题与在该整环上求解多项式方程组的问题在多项式时间内等价，从而解决了长期悬而未决的开放问题。研究证明，ℤ 上的张量秩是不可判定的，而 ℚ 上的对称张量秩是 NP-难的，为张量秩及其相关问题（如最小秩矩阵填充问题）提供了完整的复杂性刻画。

ABSTRACT

We investigate the computational complexity of tensor rank, a concept that plays fundamental role in different topics of modern applied mathematics. For tensors over any integral domain, we prove that the rank problem is polynomial time equivalent to solving a system of polynomial equations over this integral domain. Our result gives a complete description of the algorithmic complexity of tensor rank and allows one to solve several known open problems. In particular, the tensor rank over $\mathbb{Z}$ turns out to be undecidable, which answers the question posed by Gonzalez and Ja'Ja' in 1980. We generalize our result and prove that the symmetric rank admits a similar description of computational complexity as the one we give for usual rank. In particular, computing the symmetric rank of a rational tensor is shown to be NP-hard, which proves a recent conjecture of Hillar and Lim. As a byproduct of our approach, we get a similar characterization of the algorithmic complexity of the minimal rank matrix completion problem, which gives a complete answer to the question discussed in 1999 by Buss, Frandsen, and Shallit.

研究动机与目标

• 为任意整环上的张量秩计算复杂性提供完整的刻画。
• 解决自 1980 年 Gonzalez 与 Ja’Ja’ 提出以来长期悬而未决的问题：ℤ 上的张量秩是否可判定，结论是否定的。
• 将复杂性刻画扩展至对称张量秩，证明有理数域上对称张量秩的 NP-难性。
• 证明最小秩矩阵填充问题的算法复杂性与求解多项式系统具有相同复杂性。
• 在单一复杂性理论框架下统一并推广现有关于张量秩、对称秩与矩阵填充的研究成果。

提出的方法

• 将张量秩问题约化为在给定整环 R 上判断多项式方程组解的存在性问题。
• 构造一个在 R 上的张量 T，使得其在任意扩张域 S 上的秩至多为 r，当且仅当 R 上给定的多项式方程组在 S 中有解。
• 利用单项式变换与对称分解，保持在域扩张下秩不变量的性质。
• 通过横截法与对称张量分解的约化技术，将对称秩以矩阵秩的形式有界。
• 利用域嵌入与有理函数域，模拟大小至少为 9 的有限域上的解，确保有效分解的存在性。
• 利用对称秩可通过函数域上的秩一分解有界这一事实，且在域大小约束下分母不会为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在整数上，张量秩问题是否可判定？
• RQ2 计算有理张量的对称张量秩的精确计算复杂性是什么？
• RQ3 张量秩的复杂性与多项式方程组可解性之间有何关系？
• RQ4 最小秩矩阵填充问题能否以多项式系统求解的角度进行刻画？
• RQ5 张量的秩是否依赖于系数环或域扩张的选择？

主要发现

• 在任意整环 R 上，张量秩的计算与判断 R 上多项式方程组解的存在性问题在多项式时间内等价。
• 在 ℤ 上，张量秩是不可判定的，解决了 Gonzalez 与 Ja’Ja’ 于 1980 年提出的开放问题。
• 在 ℚ 上，对称张量秩是 NP-难的，证实了 Hillar 与 Lim 最近提出的猜想。
• 最小秩矩阵填充问题的算法复杂性与求解多项式系统相同，回答了 Buss、Frandsen 与 Shallit 于 1999 年提出的问题。
• 对于任意大小至少为 9 的域 F，可利用分母非零的有理函数分解来有界张量的对称秩。
• 在域大小约束下，张量 T 的对称秩上界由其关联矩阵的秩加上维度的二次项决定。