[论文解读] How many qubits are needed for quantum computational supremacy?

Alexander M. Dalzell, Aram W. Harrow+2 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|May 14, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本论文通过引入细粒度复杂度猜想，对量子计算优越性的论证进行了精细化，以估算实现经典计算不可行性的最小量子比特数量。在假设 poly3-NSETH(1/2) 和 per-int-NSETH(0.999) 的前提下，得出结论：含 208 个量子比特和 500 个门的 IQP 电路、含 420 个量子比特和 500 个约束的 QAOA 电路，以及含 98 个光子和 500 个光学元件的玻色采样电路，其规模已足够大，使得在常数乘法误差范围内进行经典模拟在计算上不可行。

ABSTRACT

Quantum computational supremacy arguments, which describe a way for a quantum computer to perform a task that cannot also be done by a classical computer, typically require some sort of computational assumption related to the limitations of classical computation. One common assumption is that the polynomial hierarchy (PH) does not collapse, a stronger version of the statement that P $ eq$ NP, which leads to the conclusion that any classical simulation of certain families of quantum circuits requires time scaling worse than any polynomial in the size of the circuits. However, the asymptotic nature of this conclusion prevents us from calculating exactly how many qubits these quantum circuits must have for their classical simulation to be intractable on modern classical supercomputers. We refine these quantum computational supremacy arguments and perform such a calculation by imposing fine-grained versions of the non-collapse assumption. Each version is parameterized by a constant $a$ and asserts that certain specific computational problems with input size $n$ require $2^{an}$ time steps to be solved by a non-deterministic algorithm. Then, we choose a specific value of $a$ for each version that we argue makes the assumption plausible, and based on these conjectures we conclude that Instantaneous Quantum Polynomial-Time (IQP) circuits with 208 qubits, Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) circuits with 420 qubits and boson sampling circuits (i.e. linear optical networks) with 98 photons are large enough for the task of producing samples from their output distributions up to constant multiplicative error to be intractable on current technology. In the first two cases, we extend this to constant additive error by introducing an average-case fine-grained conjecture.

研究动机与目标

• 确定在现实经典模拟约束条件下，实现计算优越性所需的最小量子比特数。
• 通过用经典运行时间下界的相关细粒度猜想替代多项式层（PH）不坍缩的假设，对渐近的量子优越性论证进行精细化。
• 为三种主流量子电路族（IQP、QAOA 和玻色采样）提供具体且可量化的量子优势阈值。
• 通过将运行时间假设与电路规模和误差容限关联，评估近场量子设备经典模拟的可行性。
• 评估在不同误差模型（包括常数加法误差）下，这些阈值的鲁棒性。

提出的方法

• 提出 poly3-NSETH(a) 猜想，即任何非确定性算法求解 F₂ 上三次多项式零点个数，均需 2^{cn} 时间步长，其中 c = a。
• 引入 per-int-NSETH(b) 猜想，指出求解 n×n 整数矩阵的行列式需 2^{bn} 时间步长，其中 b = 0.999。
• 引入 poly3-ave-SBSETH(a′)，该猜想涉及 SBP 复杂度类在指数时间版本下的平均情况困难性，其中 a′ = 1/2。
• 假设经典模拟运行时间与量子电路中的门数、约束数或光学元件数呈线性关系。
• 使用矩匹配分析与切比雪夫多项式逼近，以界定 F₂ 上三次多项式中较小间隙值的概率。
• 采用高斯逼近与矩匹配方法，估算 F₂ 上随机三次多项式中间隙函数的分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在常数乘法误差范围内，IQP 电路至少需要多少量子比特才能实现经典模拟不可行？
• RQ2 在细粒度复杂度假设下，QAOA 电路需要多少量子比特和约束才能实现量子优越性？
• RQ3 玻色采样电路需要多少光子和光学元件才能超越经典模拟能力？
• RQ4 不同的细粒度猜想（poly3-NSETH、per-int-NSETH、poly3-ave-SBSETH）如何影响量子优越性阈值的估计？
• RQ5 在 poly3-ave-SBSETH(1/2) 猜想下，是否可以排除相同规模电路在常数加法误差下的模拟？

主要发现

• 在 poly3-NSETH(1/2) 和 per-int-NSETH(0.999) 假设下，含 208 个量子比特和 500 个门的 IQP 电路，其规模已足够大，使得在常数乘法误差范围内进行经典模拟在计算上不可行。
• 在相同猜想下，含 420 个量子比特和 500 个约束的 QAOA 电路足以实现量子优越性。
• 在相同假设下，含 98 个光子和 500 个光学元件的玻色采样电路也足够大，使得经典模拟不可行。
• 在 poly3-ave-SBSETH(1/2) 猜想下，即使在常数加法误差下，相同规模的 IQP 和 QAOA 电路的模拟也被排除。
• 若不假设模拟时间与门数呈线性关系，仅需 10⁴ 至 10⁷ 个门的电路（量子比特数略少）在相同猜想下仍可实现不可行性。
• 对于足够大的 n，随机三次多项式的间隙值低于 2^{-n-2} 的概率至少为 0.12，表明存在非可忽略的困难实例比例。