[论文解读] How to Model Brushless Electric Motors for the Design of Lightweight Robotic Systems

Ung Hee Lee, Tor Shepherd+6 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2023

Electric Motor Design and AnalysisEngineering被引用 3

一句话总结

本文提出了一套统一的数学框架，用于在轻型机器人系统中对无刷直流（BLDC）电机进行建模，实现对转矩、电压和热特性的精确分析。该框架引入了一种功率不变的d-q变换，将三相BLDC电机行为转换为简化的直流等效模型，纠正了在电阻、转矩常数和电压估算中常见的错误，这些错误可能导致功率损耗和转矩输出的计算误差高达50%–100%。

ABSTRACT

A key step in the development of lightweight, high performance robotic systems is the modeling and selection of permanent magnet brushless direct current (BLDC) electric motors. Typical modeling analyses are completed a priori, and provide insight for properly sizing a motor for an application, specifying the required operating voltage and current, as well as assessing the thermal response and other design attributes (e.g.transmission ratio). However, to perform these modeling analyses, proper information about the motor's characteristics are needed, which are often obtained from manufacturer datasheets. Through our own experience and communications with manufacturers, we have noticed a lack of clarity and standardization in modeling BLDC motors, compounded by vague or inconsistent terminology used in motor datasheets. The purpose of this tutorial is to concisely describe the governing equations for BLDC motor analyses used in the design process, as well as highlight potential errors that can arise from incorrect usage. We present a power-invariant conversion from phase and line-to-line reference frames to a familiar q-axis DC motor representation, which provides a ``brushed'' analogue of a three phase BLDC motor that is convenient for analysis and design. We highlight potential errors including incorrect calculations of winding resistive heat loss, improper estimation of motor torque via the motor's torque constant, and incorrect estimation of the required bus voltage or resulting angular velocity limitations. A unified and condensed set of governing equations is available for designers in the Appendix. The intent of this work is to provide a consolidated mathematical foundation for modeling BLDC motors that addresses existing confusion and fosters high performance designs of future robotic systems.

研究动机与目标

• 解决由于制造商数据表中术语和参数报告方式不统一而导致的BLDC电机建模中普遍存在的混淆与不一致问题。
• 纠正因参考系不匹配（例如，将线间电阻与q轴电流结合使用）而引起的功率损耗和转矩估算中的常见错误。
• 提供一个统一的、数学上一致的框架，将三相BLDC电机特性转换为单相直流等效模型，以实现直观的设计与分析。
• 在早期机器人系统设计阶段，实现对热特性、电压和电流的精确预测，尤其适用于对质量敏感的应用，如腿式机器人和可穿戴机器人。

提出的方法

• 推导一种功率不变的d-q变换，将三相BLDC电机动态映射为简化的q轴直流电机表示。
• 利用d-q变换在与磁场定向控制（FOC）系统兼容的参考系中表达电压、电流和磁链。
• 建立线间（端子）量与相量之间在电阻、电压和转矩常数上的转换规则。
• 应用该变换推导出准确的焦耳热表达式：星形绕组电机为 $ P = \frac{1}{2}I_q^2 R^{ll} $，三角形绕组电机为 $ P = \frac{3}{2}I_q^2 R^{ll} $。
• 正确关联反电动势常数 $ K_b^{ll} $、转速常数 $ K_v^{ll} $ 和转矩常数 $ K_t^q $，并证明 $ K_t^q = \sqrt{\frac{3}{2}} K_b^{ll} $。
• 证明直接将 $ K_v^{ll} $ 与 $ I^q $ 结合使用会导致转矩估算出现 $ \sqrt{\frac{3}{2}} $ 倍的低估，这是设计中的关键错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过单相直流等效表示，准确且一致地建模三相BLDC电机行为？
• RQ2 在使用制造商提供的参数（如端子电阻和 $ K_v $）时，因参考系不匹配而引入的关键错误是什么？
• RQ3 绕组配置（星形与三角形）如何影响线间与相电阻之间的转换？这对功率损耗估算有何影响？
• RQ4 在q轴电流背景下，转矩常数 $ K_t^q $、反电动势常数 $ K_b^{ll} $ 和转速常数 $ K_v^{ll} $ 之间的正确关系是什么？
• RQ5 如何利用统一的电机建模框架，在早期机器人系统设计阶段准确预测热特性和电压需求？

主要发现

• 直接将线间电阻 $ R^{ll} $ 与q轴电流 $ I^q $ 结合使用，会导致星形绕组电机的功率损耗估算出现100%的高估，而三角形绕组电机则出现33%的低估。
• 星形绕组电机的正确功率损耗为 $ P = \frac{1}{2}I_q^2 R^{ll} $，三角形绕组电机为 $ P = \frac{3}{2}I_q^2 R^{ll} $，这纠正了常见的计算错误。
• 错误地将转速常数 $ K_v^{ll} $ 与q轴电流结合使用，会导致转矩输出估算出现 $ \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1.22 $ 倍的低估。
• q轴参考系中的转矩常数为 $ K_t^q = \sqrt{\frac{3}{2}} K_b^{ll} $，由于 $ K_b^{ll} = 1/K_v^{ll} $，因此正确的转矩为 $ \tau = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{K_v^{ll}} \cdot I^q $。
• d-q变换确保q轴电压方程简化为类似直流的形式，从而在理想条件下可将BLDC电机准确建模为等效的有刷直流电机。
• 附录A提供了统一的数学框架，可在不同电机类型和配置下实现一致且精确的电机建模。