[论文解读] How to smooth a crinkled map of spacetime: Uhlenbeck compactness for $L^\infty$ connections and optimal regularity for general relativistic shock waves by the Reintjes-Temple-equations

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了 Reintjes-Temple（RT）方程，这是一种新型的非线性椭圆型偏微分方程组，用于确定坐标变换，可将 $L^∞$ 连接的正则性提升至比其黎曼曲率张量高一阶导数。通过建立基于 $L^p$ 的存在性理论，作者将 Uhlenbeck 紧致性从黎曼几何推广至洛伦兹几何，并证明在广义相对论激波面上的正则性奇点可通过坐标变换消除，从而实现爱因斯坦-欧拉方程弱解的最优正则性。

ABSTRACT

We present authors' new theory of the RT-equations, nonlinear elliptic partial differential equations which determine the coordinate transformations which smooth connections $Γ$ to optimal regularity, one derivative smoother than the Riemann curvature tensor ${ m Riem}(Γ)$. As one application we extend Uhlenbeck compactness from Riemannian to Lorentzian geometry; and as another application we establish that regularity singularities at GR shock waves can always be removed by coordinate transformation. This is based on establishing a general multi-dimensional existence theory for the RT-equations, by application of elliptic regularity theory in $L^p$ spaces. The theory and results announced in this paper apply to arbitrary $L^\infty$ connections on the tangent bundle $T\mathcal{M}$ of arbitrary manifolds $\mathcal{M}$, including Lorentzian manifolds of General Relativity.

研究动机与目标

• 解决时空连接中非最优正则性（特别是广义相对论中激波面处）是否为物理奇点还是坐标人为造成的根本问题。
• 通过构建一种可提升连接正则性的坐标变换框架，将原本仅在黎曼几何中成立的 Uhlenbeck 紧致性推广至洛伦兹流形。
• 在 $L^p$ 空间中建立 RT 方程的一般存在性理论，从而实现构造使连接正则性比其曲率高一阶导数的坐标系。
• 证明广义相对论激波面上的正则性奇点并非物理本质，而是可通过坐标变换消除的，从而恢复局部惯性结构。

提出的方法

• RT 方程被推导为一组非线性椭圆型偏微分方程，用于控制坐标变换，以在任意流形（包括洛伦兹时空）上实现连接的最优正则性。
• 该方法依赖于欧几里得 Cartan 代数的微分形式，确保无论度量符号如何均保持椭圆性，从而可同时应用于黎曼几何与洛伦兹几何。
• 通过在 $W^{m,p}$ 和 $L^∞$ 空间中的迭代方案证明解的存在性，利用 $p>n$ 时标准的 $L^p$ 椭圆正则性理论。
• 该方法构建了一种数值算法，通过求解 RT 方程来平滑连接，提供一种实现正则性提升一阶导数的构造性方法。
• 该理论不依赖于物质内容、对称性或度量符号，因此可普遍应用于任意流形的切丛上的 $L^∞$ 连接。
• 该框架避免依赖双曲演化或规范固定（harmonic gauge），转而使用椭圆型源项正则化来提取正则性，与传统柯西问题方法形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论激波面上的正则性奇点是否可通过坐标变换消除，还是其为时空几何的内在属性？
• RQ2 在黎曼几何中已知的 Uhlenbeck 紧致性是否可推广至广义相对论的洛伦兹流形？
• RQ3 能否为能将连接正则性提升至比其曲率高一阶导数的非线性椭圆型系统建立一般存在性理论？
• RQ4 是否可构造出使 $L^∞$ 连接达到 $W^{1,p}$ 正则性的坐标系，即使曲率为 $L^∞$？
• RQ5 RT 方程能否提供一种构造性、算法化的手段，以实现爱因斯坦-欧拉方程弱解的最优正则性？

主要发现

• 当 $\Gamma, \mathrm{Riem}(\Gamma) \in W^{m,p}$ 且 $m \geq 1$、$p > n$ 时，RT 方程的解存在，并产生 $W^{m+2,p}$ 的坐标变换，使 $\Gamma$ 的正则性提升至 $W^{m+1,p}$。
• 当 $\Gamma, \mathrm{Riem}(\Gamma) \in L^\infty$ 时，RT 方程在任意 $p > n$ 下于 $W^{2,2p}$ 中存在解，使 $\Gamma$ 达到 $W^{1,p}$ 正则性，从而实现最优正则性。
• RT 方程无论度量符号如何均为椭圆型，使得椭圆正则性理论可推广至半黎曼流形，包括洛伦兹时空。
• 广义相对论激波面上的正则性奇点并非物理本质，而是坐标选择的产物，可通过坐标变换消除。
• 结果表明，通过 Glimm 方案构造的爱因斯坦-欧拉方程弱解的正则性比此前已知结果高一阶导数，足以保证测地线和局部惯性系的存在。
• 该理论提供了一种基于迭代方案的构造性算法，为任意流形上的 $L^\infty$ 连接提供计算最优坐标的实用方法。