[论文解读] Howe Correspondence of Unipotent Characters for a Finite Symplectic/Even-orthogonal Dual Pair

Shu-Yen Pan|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 15

一句话总结

本文證實了 Aubert、Michel 和 Rouquier 對有限辛群與偶數正交群在特徵 ≠ 2 情形下，其單群特徵的 Howe 對應的猜想。透過 Lusztig 的參數化方法，並結合 Deligne-Lusztig 理論與符號對應的遞迴簡化，本文建立了以雙分拆與符號表示的顯式、組合性描述，解決了經典群表示理論中長期未解的問題。

ABSTRACT

In this paper we give a complete description of the Howe correspondence of unipotent characters for a finite dual pair of a symplectic group and an even orthogonal group in terms of the Lusztig parametrization under a mild restriction of the characteristic of the base field. That is, the conjecture by Aubert-Michel-Rouquier is confirmed.

研究动机与目标

• 解決 Aubert、Michel 和 Rouquier 對有限辛群與偶數正交群之單群特徵 Howe 對應的猜想。
• 在基域特徵不為 2 時，提供以 Lusztig 參數化為基礎的對應之完整且顯式描述。
• 克服辛群與正交群之大多數不可約特徵非均勻的困難，此點與一般線性群或酉群情形不同。
• 建立一個交換圖，連結 Howe 對應與 Lusztig 對應，透過中心化子資料與單群約化。
• 利用遞迴技術與符號運算，將 GL 與 U 對偶對的已知結果推廣至辛/正交情形。

提出的方法

• 該方法依賴於 Weil 表示特徵 $\omega^\psi_{{\mathbf{G}},{\mathbf{G}}^\prime}$ 對不可約特徵的分解，透過 Howe 對應實現。
• 利用 Lusztig 的雙射 $\mathfrak{L}_s$，將 $\mathcal{E}(G)_s$ 中的不可約特徵與半單元素中心化子中的單群特徵關聯起來。
• 透過三重分解 $G^{(1)} \times G^{(2)} \times G^{(3)}$ 將對應簡化至單群情形，其中 $G^{(3)}$ 與 $G^{\prime(3)}$ 形成辛/偶數正交對偶對。
• 建立一組線性方程組，以投影至均勻共軌函數與 $\sharp$-運算，連結對應特徵的符號。
• 證明透過秩的數學歸納法進行，利用符號對應性質與集合 $\Omega^\pm_\Lambda$、$\Theta^*_\Lambda$ 與 $\mathcal{B}^+$ 控制對應中成對特徵的出現。
• 關鍵引理（如 6.7、6.9、6.11）用於連結符號的組合性與特徵對的出現，特別是在 $\Theta^*_\Lambda(\Omega^+_{\Lambda_1'}) \neq \emptyset$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特徵 ≠ 2 時，有限辛群與偶數正交群之單群特徵的 Howe 對應的顯式形式為何？
• RQ2 Howe 對應如何與 Lusztig 透過半單元素與中心化子參數化不可約特徵的方法關聯？
• RQ3 該對應是否可簡化為符號與雙分拆上的組合規則，如 Aubert、Michel 和 Rouquier 所猜想？
• RQ4 $\Omega^\pm_\Lambda$ 與 $\mathcal{B}^+$ 這些集合在決定對應中特徵對出現的機制中扮演何種角色？
• RQ5 符號扭轉與特徵的非均勻性，如何影響辛/正交情形下對應的結構，與 GL 或 U 情形相比有何差異？

主要发现

• 在 $q$ 為奇數時，對偶對 $({\rm Sp}_{2n}(q), {\rm O}^{\epsilon}_{n'}(q))$ 的 Howe 對應，完全以 Lusztig 對單群特徵的參數化方式描述。
• 該對應由符號上的組合規則明確決定：$\rho_\Lambda \otimes \rho_{\Lambda'}$ 在對應中出現，當且僅當 $(\Lambda, \Lambda') \in \mathcal{B}^+$，其中 $\mathcal{B}^+$ 是透過符號優先與秩條件定義的對集合。
• 證明確認了 Aubert、Michel 和 Rouquier 的猜想，顯示 Howe 對應與 Lusztig 對應在符號扭轉下交換，使一般情形可簡化至單群情形。
• 當 $\Lambda_{1}'$ 為類型 (I')、(II') 或 (III') 時，$\rho_\Lambda \otimes \rho_{\Lambda'}$ 的出現由 $\Theta^*_\Lambda(\Omega^+_{\Lambda_1'})$ 非空與其屬於 $\mathcal{B}^+$ 決定，並在小秩情形中明確驗證。
• 透過 $G^{(1)} \times G^{(2)} \times G^{(3)}$ 的遞迴結構與秩的歸納法，使整個對應可由單群情形建構而成，基底情形在 $n=0$ 與 $m=0$ 時已驗證。
• 關鍵技術結果為 $|\Theta_{\rho_\Lambda}(\Omega^-_{\rho_{\Lambda_1'}})| = |\Theta_\Lambda(\Omega^-_{\Lambda_1'})|$ 與 $|\Theta_{\rho_\Lambda}(\Omega^+_{\rho_{\Lambda_1'}})| = |\Theta_\Lambda(\Omega^+_{\Lambda_1'})|$，確保遞迴簡化過程的一致性。