[论文解读] Lusztig Correspondence and Howe Correspondence for Finite Reductive Dual Pairs

Shu-Yen Pan|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文建立了在奇特征有限域上的有限正则对偶对 $(\mathrm{Sp}_{2n}, \mathrm{O}^\epsilon_{2n'})$ 上，Lusztig 对应与 Howe 对应之间的交换性（至多相差一个符号扭转）。通过基于半单元素的对偶对分解以及使用修正的 Lusztig 对应，作者表明，不可约特征标的上的 Howe 对应可通过 Lusztig 对无单特征标的的参数化被显式描述，从而为该对应提供了完整的代数刻画。

ABSTRACT

Let $(G,G')$ be a reductive dual pair of a symplectic group and an orthogonal group over a finite field of odd characteristic. The Howe correspondence establishes a correspondence between a subset of irreducible characters of $G$ and a subset of irreducible characters of $G'$. The Lusztig correspondence is a bijection between the Lusztig series indexed by the conjugacy class of a semisimple element $s$ in the connected component $(G^*)^0$ of the dual group of $G$ and the set of irreducible unipotent characters of the centralizer of $s$ in $G^*$. In this paper, we prove the commutativity (up to a twist of the sign character) between these two correspondences. As a consequence, the Howe correspondence can be explicitly described in terms of Lusztig's parametrization for classical groups.

研究动机与目标

• 建立有限正则对偶对在奇特征有限域上 Lusztig 对应与 Howe 对应之间的精确关系。
• 以经典群的 Lusztig 无单特征标参数化方式，显式描述 Howe 对应。
• 通过引入修正版本的 Lusztig 对应，解决 Lusztig 对应中的歧义性，使其与 Howe 对应至多相差一个符号扭转。
• 基于半单元素的对偶对分量分解，提供统一的框架以计算 Howe 对应。

提出的方法

• 基于半单元素 $s$ 及其分解 $s = s^{(0)} \times s^{(1)} \times s^{(2)}$，将对偶对 $(\mathrm{Sp}_{2n}, \mathrm{O}^\epsilon_{2n'})$ 分解为三个分量 $G^{(0)}, G^{(1)}, G^{(2)}$。
• 引入修正的 Lusztig 对应 $\Xi_s$，将 $\mathcal{E}(G)_s$ 中的不可约特征标映射到 $\mathcal{E}(G^{(0)} \times G^{(1)} \times G^{(2)})_1$ 中无单特征标的张量积。
• 通过显式符号参数化（如命题 2.5 与公式 (2.17) 所定义），利用 Weil 特征标的统一投影，将 Howe 对应与无单特征标联系起来。
• 应用 Lusztig 系列与对偶群中中心化子的理论，将 $\mathcal{E}(G)_s$ 与 $C_{G^*}(s)$ 的无单特征标关联，从而利用已知的参数化方法。
• 通过比较分量：$s^{(0)} = -s^{\prime(0)}$，$G^{(2)} \simeq G^{\prime(1)}$，以及 $(\rho^{(1)}, \rho^{\prime(2)})$ 属于无单 Howe 对应，建立 Howe 对应与修正 Lusztig 对应之间的相容性条件。
• 使用符号特征标 $\mathrm{sgn}$ 来处理 Lusztig 对应中的非唯一性，允许在对应中出现四种符号扭转分量的组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lusztig 对应与 Howe 对应在有限辛-正交对偶对上如何相互作用？
• RQ2 是否能通过 Lusztig 对无单特征标的参数化，完全描述 Howe 对应？
• RQ3 对偶对的分量与对应特征标在两种对应下的精确关系为何？
• RQ4 符号扭转与分量分解如何影响两种对应之间的相容性？
• RQ5 在何种条件下，Howe 对应保持 Lusztig 系列结构？

主要发现

• Howe 对应与 Lusztig 对应至多相差一个符号扭转，其精确相容性条件由定理 6.10 形式化给出。
• Weil 特征标 $\omega_{\mathbf{G},\mathbf{G}^\prime,1}$ 的无单部分可分解为对符号对 $ (\Lambda, \Lambda^\prime) \in \mathcal{B}_{\mathbf{G},\mathbf{G}^\prime} $ 的求和，每一项对应于无单特征标的张量积 $\rho_\Lambda \otimes \rho_{\Lambda^\prime}$。
• 对于 $\rho \in \mathcal{E}(G)_s$ 与 $\rho^\prime \in \mathcal{E}(G^\prime)_{s^\prime, \epsilon^\prime}$，当且仅当满足以下条件时，$ (\rho, \rho^\prime) $ 出现在 Howe 对应中：$ s^{(0)} = -s^{\prime(0)} $，$ \rho^{(0)} = \rho^{\prime(0)} $，$ G^{(2)} \simeq G^{\prime(1)} $，$ \rho^{(2)} = \rho^{\prime(1)} $，$ (\rho^{(1)}, \rho^{\prime(2)}) $ 属于无单 Howe 对应，且 $ \epsilon_\rho = \epsilon^\prime $。
• Howe 对应保持 Lusztig 系列结构：$ \Theta^\psi_{\mathbf{G}}(\rho^\prime) \subset \mathcal{E}(G)_s $ 且 $ \Theta^\psi_{\mathbf{G}^\prime}(\rho) \subset \mathcal{E}(G^\prime)_{s^\prime, \epsilon^\prime} $，确保与特征标系列的相容性。
• 修正的 Lusztig 对应 $\Xi_s$ 允许将一般 Howe 对应通过分量分解约化至无单情形，从而可通过符号参数化实现显式计算。
• 符号特征标 $\mathrm{sgn}$ 解决了 Lusztig 对应中的歧义性，$\Xi_{s^\prime}^{-1}$ 的像中四种符号扭转分量的组合是使对应成立的必要且充分条件。