[论文解读] Hurwitz numbers and matrix integrals labeled with chord diagrams

A. Yu. Orlov|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文提出了一种以弦图标记的矩阵积分模型，用于生成复Ginibre随机矩阵乘积的谱相关函数。通过多边形粘合将矩阵乘积编码为带状图（ribbon graphs），该模型计算了指定分支点特征的曲面分支覆盖的赫鲁威茨数（Hurwitz numbers），并通过施尔函数（Schur functions）和依赖于欧拉特征的离散β-系综，将随机矩阵理论与赫鲁威茨理论联系起来。

ABSTRACT

We shall consider the product of complex random matrices from the independent complex Ginibre ensembles. The product includes complex matrices $Z_i, Z_i^\dagger, \, i = 1, \ldots, n$ and $2n$ sources (complex matrices $C_i$ and $C_i^*$). Any such product can be represented by a chord diagram that encodes the order of the matrices in the product. We introduce the Euler characteristic E$^*$ of the chord diagram and show that the spectral correlation functions of the product generate Hurwitz numbers that enumerate nonequivalent branched coverings of Riemann surfaces of genus $g^*$. The role of sources is the generation of branching profiles in critical points which are assigned to the vertices of the graph drawn on the base surface obtained as a result of gluing of the $2n$-gon related to the chord diagram in a standard way. Hurwitz numbers for Klein surfaces may also be obtained by a slight modification of the model. Namely, we consider $2n+1$ polygon and consider pairing of the extra matrix $Z_{2n+1}$ with a "Mobius" tau function. Thus, the presented matrix models labelled by chord diagrams generate Hurwitz numbers for any given Euler characteristic of the base surface and for any given set of ramification profiles.

研究动机与目标

• 建立独立复Ginibre随机矩阵乘积与枚举黎曼曲面和克莱因曲面分支覆盖的赫鲁威茨数之间的联系。
• 开发一种矩阵模型，将矩阵乘积结构编码为嵌入在给定欧拉特征曲面上的带状图（胖图，fatgraphs）。
• 证明矩阵乘积的谱相关函数通过施尔函数展开和离散β-系综约化可得到赫鲁威茨数。
• 通过引入一种M"obius型tau函数，将该框架扩展至克莱因曲面，以处理非可定向分支点。
• 提供一个统一模型，通过耦合常数和源矩阵生成任意欧拉特征和任意分支点特征集合的赫鲁威茨数。

提出的方法

• 该模型使用复随机矩阵 $Z_i, Z_i^\dagger$ 和源矩阵 $C_i, C_i^*$，其中每个矩阵在乘积 $X = X_1 \cdots X_F$ 中恰好出现一次。
• 矩阵乘积被表示为 $F$ 个多边形的集合，每个多边形有 $2n$ 条边，其中矩阵 $Z_i$ 和 $Z_i^\dagger$ 置于边上，源矩阵 $C_i, C_i^*$ 置于顶点上。
• 通过高斯积分配对 $Z_i$ 和 $Z_i^\dagger$，在欧拉特征为 $\textsc{e}^*$ 的曲面 $\Sigma_{\textsc{e}^*}$ 上形成带状图结构。
• 谱相关函数通过施尔函数恒等式和复矩阵上的高斯积分计算，利用 $s_\lambda(\mathbb{I}_N)$ 和 $s_\lambda(N{\bf p}_\infty)$ 将 $nN^2$ 维积分约化为 $N$ 维变量的和。
• 所得的配分函数表示为对对称群的不可约表示 $\lambda$ 的求和，权重包含源矩阵和耦合参数的施尔函数。
• 通过将源矩阵与M"obius型tau函数配对，将模型扩展至克莱因曲面，从而在曲面拓扑中引入非可定向特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过多边形粘合和带状图将独立复Ginibre矩阵的乘积编码为拓扑曲面？
• RQ2 此类矩阵乘积的谱相关函数与枚举分支覆盖的赫鲁威茨数之间的确切关系是什么？
• RQ3 模型中的耦合常数和源矩阵如何在基底曲面上的分支点处生成分支特征？
• RQ4 该模型能否被调整以生成克莱因曲面的赫鲁威茨数？需要何种修改？
• RQ5 基底曲面的欧拉特征 $\textsc{e}^*$ 在矩阵积分结构及其约化为离散 $\beta$-系综中的作用是什么？

主要发现

• 带有源矩阵和耦合常数的矩阵积分生成的谱相关函数可得到任意给定欧拉特征 $\textsc{e}^*$ 和分支特征 $\Delta^i$ 的赫鲁威茨数 $H_{\textsc{e}^*}(\Delta^1,\dots,\Delta^k)$。
• 配分函数表示为对对称群不可约表示 $\lambda$ 的求和，包含源矩阵和耦合参数的施尔函数：$\mathbb{E}_{n,N}\left[\prod_{i=1}^F \det(1 - a_i X_i)^{N\texttt{d}_i}\right] = \sum_{\lambda} \left(s_\lambda(\mathbb{I}_N)\right)^{V-n+F} \prod_{i=1}^F \frac{(N\texttt{d}_i)_\lambda}{(N)_\lambda}$。
• 该模型通过离散 $\beta$-系综结构将 $nN^2$ 维积分约化为 $N$ 个变量的和，其中 $\beta = \textsc{e}^*$ 充当逆温度的角色。
• 利用施尔函数恒等式（例如 $\int s_\lambda(AUBU^{-1}) d_*U = \frac{s_\lambda(A)s_\lambda(B)}{s_\lambda(\mathbb{I}_N)}$）可实现逐步积分，以及在弦图网络中实现环的分裂与合并。
• 欧拉特征 $\textsc{e}^*$ 通过带状图计算得出：$\textsc{e}^* = V - n + F$，其中 $V$ 为顶点数，$n$ 为边数，$F$ 为面数，其决定了基底曲面的亏格。
• 通过引入一种M"obius型tau函数，该模型可生成克莱因曲面的赫鲁威茨数，该函数与源矩阵配对以形成孔洞，从而修改曲面拓扑以包含非可定向特征。