[论文解读] Non-commutative extensions of two-dimensional topological field theories and Hurwitz numbers for real algebraic curves

Andrei V. Alexeevski, S. M. Natanzon|ArXiv.org|Feb 17, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 22

一句话总结

本文引入了克莱因拓扑场论（KTFTs），作为二维拓扑场论在非可定向曲面上的非交换推广，建立了KTFTs与结构代数之间的双射对应关系——结构代数为具有额外结构（包括一个对合反自同构和一个特殊元素U）的非交换弗罗贝尼乌斯代数。关键结果表明，计数具有指定分支类型的实代数曲线的赫鲁维茨数，即为一个结构代数同构于对称群S_n的KTFT的关联函数。

ABSTRACT

It is well-known that classical two-dimensional topological field theories are in one-to-one correspondence with commutative Frobenius algebras. An important extension of classical two-dimensional topological field theories is provided by open-closed two-dimensional topological field theories. In this paper we extend open-closed two-dimensional topological field theories to nonorientable surfaces. We call them Klein topological field theories(KTFT). We prove that KTFTs bijectively correspond to algebras with certain additional structures, called structure algebras. Semisimple structure algebras are classified. Starting from an arbitrary finite group, we construct a structure algebra and prove that it is semisimple. We define an analog of Hurwitz numbers for real algebraic curves and prove that they are correlators of a KTFT. The structure algebra of this KTFT is the structure algebra of the symmetric group.

研究动机与目标

• 通过引入克莱因拓扑场论（KTFTs）将二维拓扑场论推广至非可定向曲面。
• 定义并分类结构代数——具有对合反自同构、分解为交换子代数与理想，以及一个特殊元素U的非交换弗罗贝尼乌斯代数——这些代数与KTFTs相对应。
• 在KTFTs与结构代数之间建立双射对应关系，推广已知的闭合TFTs与交换弗罗贝尼乌斯代数之间的对应关系。
• 以纯拓扑术语定义实代数曲线的赫鲁维茨数，并证明其作为特定KTFT中的关联函数出现。
• 证明该赫鲁维茨KTFT的结构代数同构于对称群S_n的结构代数。

提出的方法

• 将克莱因拓扑场论（KTFT）定义为从紧致分层曲面（带内部和边界特殊点）范畴到结构代数张量的函子，满足拓扑不变性。
• 将结构代数定义为具有非退化不变双线性型、分解为交换子代数与理想、具有对合反自同构，以及一个特殊元素U的结合非交换代数。
• 从有限群构造结构代数，证明对称群S_n的结构代数是半单的，并作为赫鲁维茨KTFT的代数。
• 定义实代数曲线上的分层覆盖（带内部和边界特殊点），将经典分支覆盖推广至包含非可定向和边界嵌入结构的情形。
• 将赫鲁维茨数定义为上述覆盖的同构类的加权计数，权重为自同构群大小的倒数。
• 证明这些赫鲁维茨数等于KTFT中的关联函数，并以S_n结构代数中的代数运算显式表达公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将二维拓扑场论推广至非可定向曲面？其对应的代数结构是什么？
• RQ2 克莱因拓扑场论的结构代数的代数特征是什么？它如何推广闭合TFTs的交换弗罗贝尼乌斯代数？
• RQ3 能否以纯拓扑术语定义并计算实代数曲线的赫鲁维茨数？它们是否作为拓扑场论中的关联函数出现？
• RQ4 有限群的结构代数与由此产生的KTFT之间有何关系，特别是对称群S_n的情形？
• RQ5 赫鲁维茨KTFT的关联函数如何与内部和边界点的分支覆盖的组合学及杨图相关？

主要发现

• KTFTs与结构代数之间存在双射对应关系——结构代数为具有对合反自同构、分解为交换子代数与理想，以及特殊元素U的非交换弗罗贝尼乌斯代数。
• 半单结构代数已被分类，对每个有限群G，均可构造一个半单结构代数，其中对称群S_n给出赫鲁维茨KTFT的结构代数。
• 计数具有指定分支类型（在内部和边界点处）的实代数曲线的赫鲁维茨数，被证明等于KTFT中的关联函数。
• 对于类型为G = (g,1,m,m1,…,ms)的分层曲面，赫鲁维茨数由一个涉及结构代数运算的公式给出：(α1…αm (β1¹…βm1¹) V_K_B(β1²…βm1²)…V_K_B(β1^s…βms^s), K_A^g)，其中V_K_B和K_A为代数运算。
• 对于类型为G = (g,0,m,m1,…,ms)的曲面，赫鲁维茨数由公式(g,0,m,m1,…,ms)给出：(α1…αm (β1¹…βm1¹) V_K_B(β1²…βm1²)…V_K_B(β1^s…βms^s), U^{2g})，其中U^{2g}表示非可定向贡献。
• 赫鲁维茨KTFT的结构代数同构于对称群S_n的结构代数，且当G为任意有限群时，上述公式对G-赫鲁维茨数同样成立。