[论文解读] Hydrodynamic limits and numerical errors of isothermal lattice Boltzmann schemes

Gauthier Wissocq, Pierre Sagaut|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 105被引用 27

一句话总结

本文提出了一种基于Knudsen数展开的新型渐近分析方法，系统地分离并识别了等温格子Boltzmann格式中的相容性误差（源自动力学表述）与数值误差（源自空间和时间离散化）。研究发现，BGK模型的低耗散性源于有利的误差结构，而规则化和MRT模型则因‘超黏性退化’——即由较大的数值前因子引起的高阶人工耗散——导致过度耗散和低黏度流中的不稳定性。

ABSTRACT

With the aim of better understanding the numerical properties of the lattice Boltzmann method (LBM), a general methodology is proposed to derive its hydrodynamic limits in the discrete setting. It relies on a Taylor expansion in the limit of low Knudsen numbers. With a single asymptotic analysis, two kinds of deviations with the Navier-Stokes (NS) equations are explicitly evidenced: consistency errors, inherited from the kinetic description of the LBM, and numerical errors attributed to its space and time discretization. The methodology is applied to the Bhatnagar-Gross-Krook (BGK), the regularized and the multiple relaxation time (MRT) collision models in the isothermal framework. Deviation terms are systematically confronted to linear analyses in order to validate their expressions, interpret them and provide explanations for their numerical properties. The low dissipation of the BGK model is then related to a particular pattern of its error terms in the Taylor expansion. Similarly, dissipation properties of the regularized and MRT models are explained by a phenomenon referred to as hyperviscous degeneracy. The latter consists in an unexpected resurgence of high-order Knudsen effects induced by a large numerical pre-factor. It is at the origin of over-dissipation and severe instabilities in the low-viscosity regime.

研究动机与目标

• 开发一种统一的方法论，用于在离散设置下推导格子Boltzmann格式的宏观极限。
• 明确分离来自动力学描述的相容性误差与来自空间/时间离散化的数值误差。
• 通过渐近分析解释BGK、规则化和MRT碰撞模型的数值行为。
• 识别先进LBM模型在低黏度区域出现过度耗散和不稳定性的原因。
• 通过线性稳定性分析验证误差项，并对数值特性提供物理解释。

提出的方法

• 应用Knudsen数的泰勒展开，从离散格子Boltzmann方程推导等效宏观方程。
• 进行单次渐近分析，不预先假设Knudsen数与离散化参数（∆x, ∆t）之间的比例关系。
• 推导出包含四阶空间导数的系统性相容性误差与数值误差项表达式。
• 将推导出的误差项与线性稳定性分析结果进行比较，以验证并解释其物理意义。
• 分析BGK、规则化和MRT模型误差系数（C_i, N_i）的结构，以解释其耗散特性。
• 识别出‘超黏性退化’为一种机制：较大的数值前因子重新引入高阶Knudsen效应，导致过度耗散。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在离散设置下系统地分离并量化格子Boltzmann格式中的相容性误差与数值误差？
• RQ2 BGK模型中观察到的低耗散性原因是什么？其误差项结构如何解释这一现象？
• RQ3 为何规则化和MRT格子Boltzmann模型在低黏度流中表现出过度耗散与不稳定性？
• RQ4 数值前因子在MRT与规则化格式中引发虚假高阶效应的过程中起什么作用？
• RQ5 推导出的误差项与线性稳定性分析结果相比如何？这对模型鲁棒性有何启示？

主要发现

• BGK模型的低耗散性源于其误差项中特定的抵消模式，特别是C1与C2系数的结构。
• 规则化与MRT模型遭受‘超黏性退化’影响，即较大的数值前因子重新引入高阶Knudsen效应，导致过度耗散。
• 该超黏性退化被识别为低黏度区域严重不稳定的根源，尤其在MRT与规则化格式中表现明显。
• 对于MRT与规则化模型，数值误差项（N_i）的量级远大于相容性误差项（C_i），解释了其在低黏度下的性能劣化。
• 分析验证了BGK模型的误差结构比MRT与规则化模型更占优势，解释了其在低黏度流中更优的稳定性。
• 该方法成功区分了物理相容性误差与纯粹的数值伪影，从而更清晰地揭示了LBM的数值特性。