[论文解读] Hyperball packings in hyperbolic $3$-space

Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Supramolecular Self-Assembly in Materials参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文研究了在三维双曲空间中使用由 Coxeter 群 [3,3,7] 导出的截角单形体的双曲球体堆积。通过分析正截角单形体内的局部密度，识别出一种局部最优的双曲球体堆积，其密度 ≈0.86338，超过 Böröczky-Florian 对球体和极限球体的上界，但指出该配置无法全局扩展。该结果在双曲 3-空间中的双曲球体堆积中建立了新的局部密度记录。

ABSTRACT

In earlier works \cite{Sz06-1}, \cite{Sz06-2}, \cite{Sz13-3} and \cite{Sz13-4} we have investigated the densest packings and the least dense coverings by congruent hyperballs (hyperspheres) to the regular prism tilings in $n$-dimensional hyperbolic space $\HYN$ ($ 3 \le n \in \mathbb{N})$. In this paper we study a large class of hyperball (hypersphere) packings in $3$-dimensional hyperbolic space that can be derived from truncated simplex tilings (e.g. \cite{S14}, \cite{MPSz}). It is clear, that in order to get a density upper bound for the above hyperball packings, it is sufficient to determine the density upper bound locally, e.g. in truncated simplices. Thus we study hyperball packings in truncated simplices, i.e. truncated tetrahedra and prove that if the truncated tetrahedron is regular, then the density of the densest packing is $\approx 0.86338$. This is larger than the Böröczky-Florian density upper bound for balls and horoballs (horospheres) \cite{B--F64} but our locally optimal hyperball packing configuration cannot be extended to the entirety of hyperbolic space $\mathbb{H}^3$. But our regular truncated tetrahedron construction, under the extended Coxeter group $[3, 3, 7]$ with top density $\approx 0.82251$, seems to be good enough (Table 1). Moreover, we show that the densest known hyperball packing, related to the regular $p$-gonal prism tilings \cite{Sz06-1}, can dually be realized by regular truncated tetrahedron tilings as well.

研究动机与目标

• 确定双曲 3-空间中正截角单形体内全等双曲球体堆积的最大局部密度。
• 研究此类局部高密度配置是否可扩展为双曲 3-空间中的全局堆积。
• 为双曲 3-空间中的双曲球体堆积建立正棱柱铺砌与截角单形体铺砌之间的对偶关系。
• 将新双曲球体堆积密度与 Böröczky-Florian 对球体和极限球体的上界进行比较。

提出的方法

• 利用洛伦兹空间 R^{1,3} 中双曲 3-空间的射影模型来表示双曲球体和截角单形体。
• 应用扩展的 Coxeter 群 [3,3,7] 生成作为基本区域的正截角单形体。
• 使用双曲几何公式计算双曲球体体积和截角单形体体积，包括使用矩阵 (c^{ij}) 获取度量数据。
• 将密度函数 δ(𝒮ʳ(h(p))) 表示为参数 p > 6 的函数，代表截角单形体的形状。
• 通过微积分分析光滑密度函数，确定其最大值，识别出 p_opt ≈ 6.13499。
• 通过共享的顶点图和基本区域，建立 [p,3,3] 棱柱铺砌与 [3,3,p] 截角单形体铺砌之间的对偶关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双曲 3-空间中的正截角单形体内，全等双曲球体堆积的最大局部密度是多少？
• RQ2 在截角单形体内局部最优的双曲球体堆积配置是否可扩展为双曲 3-空间中的全局堆积？
• RQ3 新双曲球体堆积的密度与 Böröczky-Florian 对球体和极限球体的上界相比如何？
• RQ4 在双曲 3-空间中，正棱柱铺砌与截角单形体铺砌之间关于双曲球体堆积的关系是什么？
• RQ5 截角单形体中的双曲球体堆积密度是否超过已知的球体和极限球体堆积的上界？

主要发现

• 在双曲 3-空间中的正截角单形体内，双曲球体堆积的最大局部密度约为 0.86338。
• 该密度超过 Böröczky-Florian 对球体和极限球体堆积的上界 ≈0.85328。
• 最优配置出现在 p_opt ≈ 6.13499 处，此时密度函数 δ(𝒮ʳ(h(p))) 达到最大值。
• 局部最优的双曲球体堆积无法扩展为双曲 3-空间中的全局堆积。
• 通过正 p 边形棱柱铺砌实现的最密已知双曲球体堆积，可对偶地实现为正截角单形体铺砌。
• 随着 p 增大，最优密度单调递减，当 p → ∞ 时趋近于零。