[论文解读] Hyperbolic groups with almost finitely presented subgroups

Robert Kropholler, Federico Vigolo|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文通过基于 CAT(0) 乘积复形和具有无限关系器的群表示的新型构造，首次构建了包含 $FP_2$ 但非有限表示的子群的双曲群示例。关键贡献在于构造了一个双曲群 $G$ 及其同态 $ ph: G \to \mathbb{Z}$，使得 $\ker(\phi)$ 为 $FP_2$ 型但非有限表示，从而表明双曲性并不蕴含在上同调维数大于 2 时 $FP_2$ 子群的有限表示性。

ABSTRACT

In this paper we create many examples of hyperbolic groups with subgroups satisfying interesting finiteness properties. We give the first examples of subgroups of hyperbolic groups which are of type $FP_2$ but not finitely presented. We give uncountably many groups of type $FP_2$ with similar properties to those subgroups of hyperbolic groups. Along the way we create more subgroups of hyperbolic groups which are finitely presented but not of type $FP_3$.

研究动机与目标

• 构建双曲群的子群，其具有强同调有限性性质但不具备有限表示性。
• 挑战关于双曲群的 $FP_2$ 子群必为有限表示的猜想。
• 探索将 $FP_2$ 群嵌入双曲群的极限，特别是在上同调维数 3 的情形。
• 生成不可数多个不包含 $BS(m,n)$ 子群或无限挠子群的 $FP_2$ 群，以避开已知的双曲嵌入障碍。

提出的方法

• 使用一个特定的有限生成、无限表示的群 $H$，其表示为 $\langle S \mid U \rangle$，其中 $S$ 有限而 $U$ 无限。
• 对每个子集 $Z \subseteq U$，定义商群 $H(Z) = \langle S \mid Z \rangle$，以生成一组群。
• 证明仅有可数多个 $H(Z)$ 相互同构，从而确保存在不可数多个不同的同构类。
• 通过同调有限性准则，证明其中不可数多个 $H(Z)$ 为 $FP_2$ 型。
• 利用三部图旗复形 $\Gamma_A$ 和 $\Gamma_B$，通过 CAT(0) 乘积复形构造双曲群 $G$，其中使用了乘积结构 $\prod_{i=1}^3 A_i * B_i$。
• 定义一个极大子复形 $\mathbf{X}_{\Gamma_A,\Gamma_B}$，其基本群即为所需的双曲群 $G$，并构造同态 $\phi: G \to \mathbb{Z}$，使得 $\ker(\phi)$ 为 $FP_2$ 型但非有限表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在双曲群的子群，其为 $FP_2$ 型但非有限表示？
• RQ2 双曲群子群的 $FP_2$ 性质是否等价于有限表示性？
• RQ3 是否存在不可数多个不包含 $BS(m,n)$ 子群或无限挠子群的 $FP_2$ 群，这些群可能嵌入双曲群？
• RQ4 将 $FP_2$ 群嵌入双曲群的障碍是什么，能否克服这些障碍？

主要发现

• 该论文构造了一个双曲群 $G$ 及其同态 $\phi: G \to \mathbb{Z}$，使得 $\ker(\phi)$ 为 $FP_2$ 型但非有限表示，提供了首个此类示例。
• 核 $\ker(\phi)$ 不是 $FP_3$ 型，表明该现象特异于 $FP_2$，无法推广至更高有限性性质。
• 在群 $H(Z) = \langle S \mid Z \rangle$ 中，不可数多个为 $FP_2$ 型，尽管仅有可数多个彼此同构。
• 所构造的 $FP_2$ 群避开了所有已知的嵌入双曲群的障碍，例如不包含 $BS(m,n)$ 子群或无限挠子群。
• 该构造依赖于具有三部图旗复形的 CAT(0) 乘积复形，其中邻域结构确保了非正曲率与双曲性。
• 该方法表明，在上同调维数 3 的双曲群中，$FP_2$ 与有限表示性的等价性不成立，而此等价性在维数 2 中成立。