[论文解读] Hyperbolic polynomials and the Marcus-Spielman-Srivastava theorem

Petter Brändén|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2014

Mathematical functions and polynomials参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文将 Marcus-Spielman-Srivastava 定理由正半定矩阵的算子范数与向量划分理论推广至双曲多项式设定，提供了一个统一且连贯的框架，自然地将原始结果融入双曲多项式理论。关键贡献在于对混合特征多项式的最大特征值给出了一个精确的上界，从而通过强雷利测度导出了弱半平面性质拟阵包含 $k$ 个不相交基的新的充分条件。

ABSTRACT

Recently Marcus, Spielman and Srivastava gave a spectacular proof of a theorem which implies a positive solution to the Kadison-Singer problem. We extend (and slightly sharpen) this theorem to the realm of hyperbolic polynomials. A benefit of the extension is that the proof becomes coherent in its general form, and fits naturally in the theory of hyperbolic polynomials. We also study the sharpness of the bound in the theorem, and in the final section we describe how the hyperbolic Marcus-Spielman-Srivastava theorem may be interpreted in terms of strong Rayleigh measures. We use this to derive sufficient conditions for a weak half-plane property matroid to have k disjoint bases. This work is based on notes from a graduate course focused on hyperbolic polynomials and the recent papers of Marcus, Spielman and Srivastava, given by the author at the Royal Institute of Technology (Stockholm) in the fall of 2013.

研究动机与目标

• 将 Marcus-Spielman-Srivastava 定理由正半定矩阵的背景推广至双曲多项式。
• 在双曲多项式理论中提供该定理的连贯且自然的表述，增强概念清晰度。
• 研究广义定理中界值的精确性，特别是与最优界猜想的关系。
• 将扩展后的定理应用于推导弱半平面性质拟阵包含 $k$ 个不相交基的新充分条件，且不依赖于 Edmonds 的秩函数刻画。

提出的方法

• 本文引入混合双曲多项式，并通过与双曲多项式 $h$ 及方向 $\mathbf{e}$ 相关的广义特征值映射 $\lambda_j(\mathbf{x})$ 描述其特征值。
• 以原始 Marcus-Spielman-Srivastava 定理中的算子范数界 $\left\| \sum_{i \in S_j} \mathbf{v}_i \mathbf{v}_i^* \right\| \leq \frac{(1 + \sqrt{k\epsilon})^2}{k}$ 作为起点。
• 通过实根性、齐次性以及线性组合下的特征值交错性质，将证明技巧适配至双曲多项式。
• 通过证明常和测度 $\mu$ 是强雷利测度当且仅当其生成多项式 $P_\mu(\mathbf{x})$ 关于 $\mathbf{1}$ 是双曲的且 $\mathbb{R}_+^n \subseteq \Lambda_+(\mathbf{1})$，建立强雷利测度与双曲多项式之间的联系。
• 在双曲多项式设定中使用向量 $\mathbf{e}_i$ 的迹，将 $\mathbb{P}[S:i \in S]$ 与包含的边际概率联系起来。
• 该方法最终导出 Edmonds 基打包定理的连续类比，利用界 $\| \mathbf{e}_{S_j} \| \leq \frac{1}{k} \delta(k\epsilon, n)$ 推导出弱半平面性质拟阵中存在 $k$ 个不相交基的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 Marcus-Spielman-Srivastava 定理能否以保持其概念与技术连贯性的方式，推广至更广泛的双曲多项式类？
• RQ2 在双曲多项式背景下，界值 $\frac{(1 + \sqrt{k\epsilon})^2}{k}$ 的精确性如何？是否为最优？
• RQ3 广义定理如何通过强雷利测度及其关联的双曲多项式进行解释？
• RQ4 扩展后的定理能否导出弱半平面性质拟阵包含 $k$ 个不相交基的新充分条件，且不依赖于秩函数？
• RQ5 是否存在一个基于双曲多项式的、Edmonds 基打包定理的连续类比？

主要发现

• 广义的 Marcus-Spielman-Srivastava 定理由双曲多项式证明在双曲多项式理论中具有连贯且自然的表述，以有意义的方式扩展了原始结果。
• 界值 $\frac{(1 + \sqrt{k\epsilon})^2}{k}$ 在双曲设定中被证明接近最优，其中命题 7.1 通过雅可比多项式零点行为确认了其渐近精确性。
• 常和测度 $\mu$ 是强雷利测度当且仅当其生成多项式 $P_\mu(\mathbf{x})$ 关于 $\mathbf{1}$ 是双曲的且 $\mathbb{R}_+^n \subseteq \Lambda_+(\mathbf{1})$，建立了概率结构与代数结构之间深层联系。
• 定理 8.1 提供了弱半平面性质拟阵包含 $k$ 个不相交基的新充分条件：若对所有 $i$ 有 $\mathbb{P}[S:i \in S] \leq \left( \frac{1}{\sqrt{k-1}} - \frac{1}{\sqrt{k}} \right)^2 $，则存在 $k$ 个不相交基。
• 定理 8.2 的证明利用了 $\lambda_{\max}$ 的凸性以及界 $\lambda_{\min}(\mathbf{v}_j) \geq 1 - \frac{k-1}{k} \delta(k\epsilon, n)$，证明 $\mathbf{v}_j$ 满秩，从而推出 $S_j$ 包含一个基。
• 本文表明，双曲多项式框架为弱半平面性质拟阵中 $k$-基打包提供了与秩函数无关的新充分条件，与 Edmonds 的刻画形成鲜明对比。