[论文解读] Hyperbolic Polynomials Approach to Van der Waerden/Schrijver-Valiant like Conjectures : Sharper Bounds, Simpler Proofs and Algorithmic Applications

Leonid Gurvits|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的双曲多项式框架，统一并强化了关于永久积和匹配的范德瓦尔登与施吕珀-瓦利安特猜想。通过利用 $\mathrm{POS}$-双曲多项式和罗尔定理，建立了混合导数的精确下界，实现了在任意固定 $m$ 下，以乘法因子 $\frac{e^n}{n^m}$ 在确定性多项式时间内近似永久积，改进了先前结果并简化了证明。

ABSTRACT

Let $p(x_1,...,x_n) = p(X), X \in R^{n}$ be a homogeneous polynomial of degree $n$ in $n$ real variables, $e = (1,1,..,1) \in R^n$ be a vector of all ones . Such polynomial $p$ is called $e$-hyperbolic if for all real vectors $X \in R^{n}$ the univariate polynomial equation $P(te - X) = 0$ has all real roots $λ_{1}(X) \geq ... \geq λ_{n}(X)$ . The number of nonzero roots $|\{i :λ_{i}(X) eq 0 \}|$ is called $Rank_{p}(X)$ . A $e$-hyperbolic polynomial $p$ is called $POS$-hyperbolic if roots of vectors $X \in R^{n}_{+}$ with nonnegative coordinates are also nonnegative (the orthant $R^{n}_{+}$ belongs to the hyperbolic cone) and $p(e) > 0$ . Below $\{e_1,...,e_n\}$ stands for the canonical orthogonal basis in $R^{n}$. The main results states that if $p(x_1,x_2,...,x_n)$ is a $POS$-hyperbolic (homogeneous) polynomial of degree $n$, $Rank_{p} (e_{i}) = R_i$ and $ p(x_1,x_2,...,x_n) \geq \prod_{1 \leq i \leq n} x_i ; x_i > 0, 1 \leq i \leq n , $ then the following inequality holds $$ \frac{\partial^n}{\partial x_1...\partial x_n} p(0,...,0) \geq \prod_{1 \leq i \leq n} (\frac{G_{i} -1}{G_{i}})^{G_{i} -1} (G_i = \min(R_{i}, n+1-i)) . $$ This theorem is a vast (and unifying) generalization of as the van der Waerden conjecture on the permanents of doubly stochastic matrices as well Schrijver-Valiant conjecture on the number of perfect matchings in $k$-regular bipartite graphs . The paper is (almost) self-contained, most of the proofs can be found in the {\bf Appendices}.

研究动机与目标

• 使用双曲多项式统一并推广范德瓦尔登与施吕珀-瓦利安特猜想。
• 利用罗尔定理和双曲性性质，为这些经典结果提供更简单、非计算性的证明。
• 设计确定性多项式时间算法，以改进的乘法误差界近似非负矩阵的永久积。
• 建立 $\mathrm{POS}$-双曲多项式混合导数的新下界，推广已知的永久积不等式。

提出的方法

• 定义具有非负系数和实根一元限制的 $e$-双曲和 $\mathrm{POS}$-双曲齐次多项式。
• 将多项式 $p$ 的指标 $\mathrm{Cap}(p)$ 定义为在正卦限上 $p(x)$ 的下确界，以确保正性和双曲性。
• 使用偏微分递归地将问题约化为低次的 $\mathrm{POS}$-双曲多项式，同时保持双曲性和指标。
• 应用极化公式，通过 $O(n^{m+1})$ 次预言机调用评估高阶导数，其中 $k = m\log_2 n$。
• 利用双曲性锥和实根性，通过罗尔定理推导混合导数的精确下界。
• 构建一个确定性算法，以乘法因子 $\frac{e^n}{n^m}$ 在任意固定 $m$ 下近似任意 $n \times n$ 非负矩阵的永久积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用双曲多项式在单一框架下统一范德瓦尔登与施吕珀-瓦利安特猜想？
• RQ2 能否利用双曲多项式的性质，为这些猜想构造更简单、非计算性的证明？
• RQ3 能否对 $\mathrm{POS}$-双曲多项式的混合导数下界进行加强和推广？
• RQ4 能否设计出在改进乘法误差下近似永久积的确定性多项式时间算法？
• RQ5 偏微分和指标在推导永久积与混合判别式精确界的过程中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了精确下界：$\frac{\partial^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} p(0,\dots,0) \geq \prod_{i=1}^n \left(\frac{G_i - 1}{G_i}\right)^{G_i - 1}$，其中 $G_i = \min(R_i, n+1-i)$ 且 $R_i = \mathrm{Rank}_p(e_i)$。
• 当 $p$ 为线性形式的乘积时，该界作为特例推广了范德瓦尔登猜想（$\frac{n!}{n^n}$）和施吕珀-瓦利安特猜想 ($(\frac{k-1}{k})^{(k-1)n}$)。
• 该证明是非计算性的，仅依赖于罗尔定理和双曲多项式的基本性质，简化了先前复杂的论证。
• 该方法产生一个确定性多项式时间算法，以乘法因子 $\frac{e^n}{n^m}$ 在任意固定 $m$ 下近似任意 $n \times n$ 非负矩阵的永久积。
• 该界优于施吕珀原始的下界，并通过双曲框架扩展至混合判别式和其他多重线性形式。
• 该方法自包含，适用于多重线性和行列式多项式，统一了组合数学与矩阵理论中的结果。