[论文解读] Hyperbolicity of Generic High-Degree Hypersurfaces in Complex Projective Space

Yum-Tong Siu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2012

Meromorphic and Entire Functions参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文通过使用倾斜向量场和低极点阶的亚纯 jet 微分，构造具有受控消去性质的全纯 jet 微分，建立了复射影空间中一般高次超曲面的双曲性。关键结果是：当次数超过依赖于维数的显式阈值时，此类超曲面或其补集均不存在非平凡的全纯整映射从复直线到其上。

ABSTRACT

We use two ingredients to prove the hyperbolicity of generic hypersurfaces of sufficiently high degree and of their complements in the complex projective space. One is the pullbacks of appropriate low pole order meromorphic jet differentials on the complex projective space to a hypersurface. The other is slanted vector fields of low vertical pole order on the vertical jet space of the universal hypersurface. We also present a number of related results, obtained by the same methods, such as: (i) a Big-Picard-Theorem type statement concerning extendibility, across the puncture, of holomorphic maps from a punctured disk to a generic hypersurface of high degree, (ii) nonexistence of nontrivial sets of entire functions satisfying certain polynomial equations with slowly varying coefficients, and (iii) Second Main Theorems for jet differentials and slowly moving targets.

研究动机与目标

• 建立复射影空间中维数 n ≥ 3 的一般高次超曲面的双曲性。
• 将该结果推广至 CP^n 中此类超曲面的补集（当 n ≥ 2 时）。
• 基于倾斜向量场和 jet 微分发展一种证明全纯曲线不存在的方法。
• 将该方法推广至包含缓慢变化系数和移动目标的情形，从而为 jet 微分建立第二主定理。
• 通过借鉴 Bloch 1926 年的工作，利用线性代数和微分技巧，提供双曲性的构造性证明。

提出的方法

• 在全族超曲面的垂直 jet 空间中构造倾斜向量场，以控制 jet 微分的行为。
• 在 CP^n 上使用低极点阶（阶为 δ^{1−ε}）的亚纯 jet 微分，并将其拉回到超曲面 X 上。
• 应用 jet 微分拉回映射的单射性（引理 3.4），以确保拉回量之间的充分线性无关性。
• 通过拉回量的 C-线性组合构造 X 上非平凡的全纯 jet 微分，使其在 X 的一个充分正线丛上消失（命题 3.8）。
• 利用倾斜向量场技术推导出使全纯映射恒为常值的消去恒等式。
• 对具有缓慢移动目标的对数极点 jet 微分应用 Nevanlinna 理论和第二主定理论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些次数 δ ≥ δ_n，一般超曲面 X ⊂ ℙ_n 是双曲的，即不包含从 ℂ 到其上的非平凡全纯映射？
• RQ2 对于一般高次超曲面，其补集 ℙ_n − X 是否也能在足够高的次数下被证明为双曲？
• RQ3 如何通过从 ℙ_n 拉回亚纯 jet 微分，显式构造高次超曲面上的 jet 微分？
• RQ4 倾斜向量场在生成 jet 微分的消去恒等式中起什么作用，从而阻碍全纯曲线的存在？
• RQ5 在系数缓慢变化和移动目标的背景下，能否为 jet 微分建立第二主定理？

主要发现

• 对每个 n ≥ 3，存在一个显式的阈值 δ_n，使得任意度数 δ ≥ δ_n 的一般超曲面在 ℙ_n 中都是双曲的，即不包含从 ℂ 到其上的非平凡全纯映射。
• 对每个 n ≥ 2，存在一个显式的阈值 δ_n^*，使得 ℙ_n 中度数 δ ≥ δ_n^* 的一般超曲面的补集也是双曲的。
• X 上全纯 jet 微分的构造依赖于从 ℙ_n 拉回低极点阶的亚纯 jet 微分，拉回映射的单射性确保了足够的线性无关性。
• 通过拉回量的 C-线性组合构造出 X 上非平凡的全纯 jet 微分，使其在 X 的一个充分正线丛上消失，从而可应用消去论证。
• 该方法可推广至具有缓慢移动目标的 jet 微分的第二主定理，其中接近函数被计数函数以低阶项为界。
• 该方法通过控制极点的 jet 微分的 Wronskian 构造，可恢复 Cartan 的第二主定理（对处于一般位置的超平面）作为特例。