[论文解读] The Geometry of Maximum Principles and a Bernstein Theorem in Codimension 2

Renan Assimos Martins|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了莫泽的伯恩斯坦定理在余维数2下的推广：ℝ^{p+2}中具有有界斜率的整个极小图必须是一个p-平面。证明利用格拉斯曼流形的凸性性质排除了非平凡调和高斯映射的存在，结合阿勒尔正则性定理处理了极小图的非紧致性问题。

ABSTRACT

Moser's Bernstein theorem \cite{moser61} says that an entire minimal graph of codimension 1 with bounded slope must be a hyperplane. An analogous result for arbitrary codimension is not true, by an example of Lawson-Osserman. Here, we show that Moser's theorem nevertheless extends to codimension 2, i.e., a minimal $p$-submanifold in $R^{p+2}$, which is the graph of a smooth function defined on the entire $R^p$ with bounded slope, must be a $p$-plane. Our method depends on convexity properties of Grassmannians which come into play as the targets of the (harmonic) Gauss maps of our minimal submanifolds. In fact, we develop a general method to construct subsets of complete Riemannian manifolds that cannot contain images of non-constant harmonic maps from compact manifolds. When applied to Grassmannians, for codimension 2, it yields an appropriate domain that cannot contain nontrivial images of such harmonic maps. Our conclusion will then be reached by an application of Allard's theorem to handle the issue that the minimal submanifolds in question are not compact.

研究动机与目标

• 将莫泽的伯恩斯坦定理从余维数1推广至余维数2。
• 解决ℝ^{p+2}中具有有界斜率的整个极小图是否必为仿射平面的问题。
• 发展一种普遍方法，用于排除映射到完备黎曼流形中的非平凡调和映射。
• 将此方法应用于余维数2中的格拉斯曼流形，以阻止非平凡调和高斯映射的存在。
• 利用阿勒尔定理处理证明中极小图的非紧致性问题。

提出的方法

• 利用格拉斯曼流形的凸性性质构造无法包含非平凡调和映射像的区域。
• 将一种通用几何方法应用于黎曼流形，以排除从紧致流形出发的非平凡调和映射。
• 将ℝ^{p+2}中极小子流形的调和高斯映射视为到格拉斯曼流形的调和映射进行分析。
• 在ℝ^{p+2}中p-平面的格拉斯曼流形中识别出一个可排除非平凡调和映射的区域。
• 利用阿勒尔正则性定理推导出尽管存在非紧致性，极小图仍具有光滑性和平坦性。
• 结合调和映射理论与几何分析，得出极小图必为p-平面的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 莫泽的伯恩斯坦定理在余维数2下对具有有界斜率的整个极小图是否成立？
• RQ2 从紧致流形出发的非平凡调和映射能否映射到余维数2中格拉斯曼流形的某些区域？
• RQ3 格拉斯曼流形的何种几何性质可阻止非平凡调和映射的像存在？
• RQ4 如何将阿勒尔定理应用于余维数2中的非紧致极小图？
• RQ5 在ℝ^{p+2}中，何种条件可确保极小图必为p-平面？

主要发现

• ℝ^{p+2}中具有有界斜率的整个极小图必为p-平面，将莫泽定理推广至余维数2。
• ℝ^{p+2}中p-平面的格拉斯曼流形存在一个可排除非平凡调和映射的区域。
• 格拉斯曼流形的凸性性质在构造此类排除区域中起关键作用。
• 该方法可普遍应用于黎曼流形，为排除非平凡调和映射提供有效工具。
• 阿勒尔正则性定理使得基于紧致性的结果可推广至非紧致极小图。
• 若斜率有界，则余维数2中极小图的调和高斯映射不可能是非平凡的。