[论文解读] Hyperelliptic curves and their invariants: geometric, arithmetic and algorithmic aspects

Reynald Lercier, Christophe Ritzenthaler|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用 65

一句话总结

本文提出了一套显式算法，利用经典不变量理论与协变式，从其不变量重构三型双曲曲线，重点关注几何、算术与算法方面。该方法提供了在模数域上恢复双曲曲线模型的实用方法，包括具有非平凡自同构群的情况，并通过计算 $\bar{\bbF}_p$-同构类（$p = 11$ 至 $47$）验证了构造结果，与预测的 $p^5$ 条曲线数量一致。

ABSTRACT

We apply classical invariant theory of binary forms to explicitly characterize isomorphism classes of hyperelliptic curves of small genus and, conversely, propose algorithms for reconstructing hyperelliptic models from given invariants. We focus on genus 3 hyperelliptic curves. Both geometric and arithmetic aspects are considered.

研究动机与目标

• 为在存在非平凡自同构群的情况下，从其不变量构造性地恢复双曲曲线提供方法。
• 开发在模数域上重构双曲曲线模型的算法，解决算术几何中的下降问题。
• 通过显式不变量与协变式表征三型双曲曲线的同构类，将梅斯特的方法推广至具有额外自同构的情形。
• 在有限域上显式计算所有 $\bar{\bbF}_p$-同构类的三型双曲曲线模型，并验证理论计数。

提出的方法

• 使用戈登方法与张量积计算二元八次型的基不变量与协变式，这些形式与三型双曲曲线相关。
• 应用克莱布什恒等式将二元形式与其关联的二次协变式联系起来，从而从不变量构造平面圆锥曲线 $\ncal Q$ 与四次曲线 $\ncal H$。
• 采用求值-插值策略，推导 $\ncal Q$ 与 $\ncal H$ 系数的正式表达式，避免直接符号计算。
• 对于具有额外自同构的曲线，采用修改后的协变式选择，确保 $\ncal Q$ 非奇异，从而构造在 8 个点处分歧的二重覆盖。
• 通过计算同构上的伽罗瓦作用并求解范数方程，在有限域上应用下降技术，将模型下降至模数域。
• 使用 Magma 的 `IsGL2Equivalent` 函数及 $\textrm{PGL}_2$ 中的正规化子计算，寻找非平凡自同构群时的有理同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当自同构群非平凡时，特别是当梅斯特的圆锥退化时，能否算法性地从不变量重构双曲曲线？
• RQ2 具有额外自同构的三型双曲曲线的模数域结构如何？何时模数域同时也是定义域？
• RQ3 在 $\bbF_p$ 上，三型双曲曲线的 $\bar{\bbF}_p$-同构类有多少个？能否显式参数化？
• RQ4 该重构方法能否推广至更高亏格的双曲曲线，使用不变量的加权射影空间？

主要发现

• 作者成功地为 $\bbF_p$ 上所有 $\bar{\bbF}_p$-同构类的三型双曲曲线（$p = 11$ 至 $47$）在模数域上实现了曲线重构。
• 对于维数为 0 的层，获得一个模型；维数为 1 时，获得 $p-3$ 个模型；维数为 2 时，获得 $p^2 - 2p + 2$ 个模型；对于 $\ncal D_4$ 层，获得 $p^3 - 2p^2 + 3$ 个模型；对于 $\ncal C_2$ 层，获得 $p^5 - p^3 + p - 2$ 个模型。
• 在 $\bbF_p$ 上，$\bar{\bbF}_p$-非同构的三型双曲曲线总数为 $p^5$，与 [BG01] 的预测一致。
• 该方法通过使用替代协变式确保圆锥 $\ncal Q$ 非奇异，成功处理了具有非平凡自同构群的曲线，克服了梅斯特原始方法的失效。
• 在有限域上的下降算法有效：通过求解范数方程并测试伽罗瓦下降，利用同构类的有限搜索，在模数域上构造出模型。
• 实现结果证实，即使在存在额外自同构的情况下，所有有限域上的三型双曲曲线的模数域都是定义域。