[论文解读] Hyperelliptic Curves with Maximal Galois Action on the Torsion Points of their Jacobians

Aaron Landesman, Ashvin Swaminathan+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文证明了在四类标准的超椭圆曲线中，具有密度-1的子集的雅可比簇具有最大的阿代尔伽罗瓦像，这意味着在辛群内的扭点上的伽罗瓦表示尽可能大。文章提供了在ℚ上显式构造的亏格2和亏格3超椭圆曲线，其雅可比簇实现了这种最大化，填补了这些亏格下文献中的空白，并将模-ℓ单值性结果推广到了完整的阿代尔设置。

ABSTRACT

In this article, we show that in each of four standard families of hyperelliptic curves, there is a density-$1$ subset of members with the property that their Jacobians have adelic Galois representation with image as large as possible. This result constitutes an explicit application of a general theorem on arbitrary rational families of abelian varieties to the case of families of Jacobians of hyperelliptic curves. Furthermore, we provide explicit examples of hyperelliptic curves of genus $2$ and $3$ over $\mathbb Q$ whose Jacobians have such maximal adelic Galois representations.

研究动机与目标

• 建立在四类标准超椭圆曲线家族中，具有密度-1的子集的雅可比簇具有最大阿代尔伽罗瓦像。
• 提供ℚ上亏格2和亏格3超椭圆曲线的显式例子，其雅可比簇实现最大阿代尔伽罗瓦像。
• 将模-ℓ伽罗瓦单值性结果推广到完整的阿代尔设置，特别是针对此前尚无此类例子的超椭圆曲线。
• 通过构造亏格2和3的显式例子，弥补文献中的空白，此前这些亏格的最大阿代尔图像尚未被确认。
• 推测：对于超椭圆曲线单值性，模-2满射可推出2-进满射，这将简化阿代尔最大化的判定条件。

提出的方法

• 作者将关于有理阿贝尔簇族的一般定理（来自[LSTX19]）应用于超椭圆曲线雅可比簇族，证明在密度-1的曲线上，阿代尔伽罗瓦像达到最大。
• 通过验证对所有素数ℓ，模-ℓ伽罗瓦像为全辛群Sp_{2g}(Z/ℓZ)，来确认阿代尔最大化的条件，使用了[AD17]和[Zyw10b]中的准则。
• 对每个素数ℓ，利用[AD17]中的准则确认模-ℓ伽罗瓦像中存在一个对合变换，从而确保像不包含于抛物子群中。
• 使用Magma和Mathematica计算模不同素数的弗罗贝尼乌斯元素的特征多项式，以验证命题4.4的条件(B)和(C)，确保像为全辛群。
• 显式计算定义多项式f(x)的判别式，并验证其仅有有限多个素因子，这通过切巴捷夫型论证支持了密度-1的结论。
• 证明在猜想成立的前提下，模-2单值性到S_{2g+2}可推出2-进单值性，从而可将阿代尔最大化的验证简化为对ℓ≥3的模-ℓ单值性检查。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在ℚ上亏格2和3的超椭圆曲线，其雅可比簇具有最大阿代尔伽罗瓦像？
• RQ2 能否将关于有理阿贝尔簇族的一般定理应用于标准家族中的超椭圆曲线，以证明密度-1子集的雅可比簇具有最大阿代尔伽罗瓦像？
• RQ3 模-2伽罗瓦单值性满射到S_{2g+2}是否足以推出超椭圆曲线雅可比簇的2-进满射性？
• RQ4 能否构造并计算验证此类曲线的显式例子？
• RQ5 先前例子（如[Die02]、[ALS16]）中模-2图像不最大的情况是否阻碍了完整的阿代尔最大化？这一问题能否被克服？

主要发现

• 本文显式构造了ℚ上亏格2和亏格3的超椭圆曲线，其雅可比簇的阿代尔伽罗瓦像等于GSp_{2g}(Ẑ)，达到可能的最大图像。
• 在四类标准超椭圆曲线家族中，具有密度-1的子集的曲线其雅可比簇具有最大阿代尔伽罗瓦像，该结果将椭圆曲线的结果推广到了高亏格情形。
• 亏格3例子中定义多项式f(x)的判别式被计算为若干小素数的高次幂与若干大素数的乘积，确认了仅有有限多个坏素数。
• 亏格3例子的模-2伽罗瓦图像被证明为S_8，且在猜想5.1成立的前提下，这蕴含2-进满射性。
• 对所有素数ℓ ≠ 3,5,7,13,17,19，模-ℓ伽罗瓦图像为全Sp_6(Z/ℓZ)，对剩余素数，通过特征多项式显式验证确认了全像。
• 本文证明：若模-2单值性为S_{2g+2}，且对所有ℓ≥3，模-ℓ单值性为全Sp_{2g}(Z/ℓZ)，则在猜想5.1成立的前提下，阿代尔图像为最大。