[论文解读] Hypergeometric functions, their epsilon expansions and Feynman diagrams

M.Yu. Kalmykov, Bernd A. Kniehl+2 more|ArXiv.org|Oct 20, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于超几何函数的单圈费曼图计算方法，通过广义超几何函数实现了其 $\varepsilon$ 展开的解析计算。该方法利用 ${}_2F_1$、${}_3F_2$ 和 ${}_4F_3$ 函数，给出了主积分的精确表达式，其参数与格拉姆行列式和凯莱行列式相关联，并为关键图提供了关于多重 polylogarithm 的任意阶 $\varepsilon$ 展开。

ABSTRACT

We review the hypergeometric function approach to Feynman diagrams. Special consideration is given to the construction of the Laurent expansion. As an illustration, we describe a collection of physically important one-loop vertex diagrams for which this approach is useful.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用超几何函数计算单圈费曼图在 $\varepsilon$ 上的洛朗级数展开。
• 通过格拉姆行列式和凯莱行列式，建立动量不变量与超几何函数参数之间的直接对应关系。
• 以广义超几何函数的形式，提供顶点型图主积分的精确解析表达式。
• 将超几何函数技术的应用范围扩展至具有多个质量尺度及非零凯莱行列式的图。
• 证明某些图的全部阶 $\varepsilon$ 展开可表示为单位根的多重 polylogarithm。

提出的方法

• 利用时空维度中的梅林-巴恩斯技术与差分方程，推导出单圈 $N$ 点图的超几何函数表示。
• 将主积分表示为广义超几何函数 ${}_pF_q$，其参数与动量不变量 $Q^2/m^2$ 或 $Q_i^2/m^2$ 成比例。
• 依赖于超几何函数参数与表征图结构的几何不变量——格拉姆行列式与凯莱行列式——之间的一一对应关系。
• 应用达维季切夫-塔拉索夫算法，将任意单圈图约化为一组具有偏移传播子幂次的主积分。
• 采用 $\varepsilon$-展开技术，计算在 $d = 4 - 2\varepsilon$ 附近的洛朗级数系数，从而实现对紫外与红外发散图的数值计算。
• 利用邻近关系与微分约化技术，系统地生成图中出现的超几何函数的 $\varepsilon$ 展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义超几何函数系统地表示单圈费曼图？
• RQ2 图的动量不变量与其中超几何函数参数之间的精确关系是什么？
• RQ3 能否利用超几何函数恒等式，对主积分的 $\varepsilon$ 展开进行解析计算？
• RQ4 格拉姆行列式与凯莱行列式的零或非零值如何影响超几何表示的结构？
• RQ5 主积分的全部阶 $\varepsilon$ 展开在多大程度上可表示为多重 polylogarithm？

主要发现

• 具有任意传播子幂次的单圈顶点图 $C_7$ 可表示为一个 ${}_3F_2$ 函数，其参数与 $Q^2/m^2$ 成比例，系数包含伽马函数。
• 图 $C_8$ 由一个 ${}_3F_2$ 超几何函数表示，其参数依赖于 $n/2 - 1$、$3 - n/2$ 和 $n/2$，其参数为 $Q^2/(4m^2)$。
• 对于 $C_9$，主积分为两个 ${}_3F_2$ 函数之差，分别对应参数 $Q_1^2/m^2$ 与 $Q_2^2/m^2$，当 $Q_1^2 = Q_2^2$ 时其值为零。
• 图 $C_{10}$ 的凯莱行列式为零，其约化为传播子型图的线性组合，通过两个 ${}_2F_1$ 函数表示，其参数涉及平方动量不变量。
• 主积分 $C_{11}$ 的全部阶 $\varepsilon$ 展开可表示为单位根的多重 polylogarithm。
• 图 $C_{12}$ 表示为两个 ${}_3F_2$ 函数的线性组合，其结构与 $C_8$ 类似，包含由 $Q_i^2$ 加权的项，分母为 $Q_1^2 - Q_2^2$。