[论文解读] Idempotents in triangulated monoidal categories

Matthew Hogancamp|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文发展了三角化张量范畴中幂等元的理论，引入了互补幂等元及其自同态代数。证明了与对偶幂等元对相关联的 Tate 对象 $\mathbf{T}$ 的 Hom 空间 $\langle\mathbf{T},\mathbf{T}\rangle$ 同构于 $\langle\mathbf{U},\mathbf{C}[1]\rangle$，并通过连接态射赋予其单位代数结构，从而推广了 Tate 上同调。

ABSTRACT

In these notes we develop some basic theory of idempotents in monoidal categories. We introduce and study the notion of a pair of complementary idempotents in a triangulated monoidal category, as well as more general idempotent decompositions of identity. If $\mathbf{E}$ is a categorical idempotent then $\operatorname{End}(\mathbf{E})$ is a graded commutative algebra. The same is true of $\operatorname{Hom}(\mathbf{E},\mathbf{E}^c[1])$ under certain circumstances, where $\mathbf{E}^c$ is the complement. These generalize the notions of cohomology and Tate cohomology of a finite dimensional Hopf algebra, respectively.

研究动机与目标

• 建立三角化张量范畴中单位与余单位幂等元的基础理论，以用于范畴化与高阶表示论。
• 利用范畴化幂等元推广有限维霍普夫代数的上同调与 Tate 上同调概念。
• 在导出范畴中建立 Tate 对象与单位/余单位幂等元结构之间的对应关系。
• 为理解三角范畴中单位元的幂等分解与 Postnikov 系统提供系统性框架。

提出的方法

• 通过满足张量积下同构条件的态射 $\eta: \mathbbm{1} \to \mathbf{U}$ 与 $\varepsilon: \mathbf{C} \to \mathbbm{1}$，在张量范畴中引入单位与余单位幂等元。
• 在三角化张量范畴中定义互补幂等元对 $({\mathbf{C}}, {\mathbf{U}})$，并构造相关典范三角形以实现半正交分解。
• 利用 Postnikov 系统与单位元的线性分解分析自同态代数的结构及其分次交换性。
• 从对偶幂等元对 $({\mathbf{U}}^\star, {\mathbf{U}})$ 构造 Tate 对象 $\mathbf{T}$，并证明其继承单位/余单位幂等元结构。
• 对结构应用对偶函子 $(-)^\star$，以证明 Hom 空间之间的同构，包括 $\operatorname{hom}(\mathbf{T},\mathbf{T}) \simeq \operatorname{hom}(\mathbf{U},\mathbf{C}[1])$。
• 证明连接态射 $\delta: \mathbf{U} \to \mathbf{C}[1]$ 通过同构 $[\operatorname{Id}_{\mathbf{T}}] \mapsto [\delta]$ 在代数 $\operatorname{hom}(\mathbf{U},\mathbf{C}[1])$ 中充当单位。

实验结果

研究问题

• RQ1 三角化张量范畴中的单位与余单位幂等元如何推广上同调与 Tate 上同调结构？
• RQ2 互补幂等元在实现三角范畴半正交分解中起什么作用？
• RQ3 如何通过幂等元分解与 Postnikov 系统在范畴上重建 Tate 上同调？
• RQ4 当与 Tate 对象 $\mathbf{T}$ 关联时，$\operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ 上会涌现出何种代数结构？
• RQ5 幂等元及其补元的自同态代数在何种意义上表现出分次交换性？

主要发现

• 范畴幂等元 $\mathbf{E}$ 的自同态代数 $\operatorname{End}(\mathbf{E})$ 是一个分次交换代数。
• 在适当条件下，$\operatorname{Hom}(\mathbf{E}, \mathbf{E}^c[1])$ 同样构成一个分次交换代数，推广了 Tate 上同调。
• 与对偶幂等元对 $({\mathbf{U}}^\star, {\mathbf{U}})$ 关联的 Tate 对象 $\mathbf{T}$ 在 ${\mathcal{K}}({\mathcal{C}}^{\oplus})$ 中具有单位幂等元结构，其补为 $\mathbf{C} \oplus \mathbf{U}^\star$。
• $\mathbf{T}[-1]$ 在 ${\mathcal{K}}({\mathcal{C}}^{\Pi})$ 中具有余单位幂等元结构，其补为 $\mathbf{U} \oplus \mathbf{C}^\star$。
• 存在一个典范同构 $\operatorname{hom}(\mathbf{T}, \mathbf{T}) \simeq \operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$，其中 $[\operatorname{Id}_{\mathbf{T}}]$ 映射到连接态射 $[\delta]$。
• $\operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ 赋予单位代数结构，其单位为 $[\delta]$，使其成为一个广义的 Tate 上同调代数。