[论文解读] Identifying codes in vertex-transitive graphs and strongly regular graphs

Sylvain Gravier, Aline Parreau+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 39被引用 13

一句话总结

本文在顶点传递的强正则图，特别是广义四边形（GQs）中构造识别码，实现了与分数松弛解相匹配的最优大小阶。研究证明，对于 GQ(q, q²) 和 GQ(q², q)，识别码的大小阶分别为 Θ(|V|^{1/4})、Θ(|V|^{1/3}) 和 Θ(|V|^{2/5})，与分数解的阶一致，并为这些基于有限几何的对称有限图建立了紧致界。

ABSTRACT

We consider the problem of computing identifying codes of graphs and its fractional relaxation. The ratio between the size of optimal integer and fractional solutions is between 1 and 2 ln(|V|)+1 where V is the set of vertices of the graph. We focus on vertex-transitive graphs for which we can compute the exact fractional solution. There are known examples of vertex-transitive graphs that reach both bounds. We exhibit infinite families of vertex-transitive graphs with integer and fractional identifying codes of order |V|^a with a in {1/4,1/3,2/5}. These families are generalized quadrangles (strongly regular graphs based on finite geometries). They also provide examples for metric dimension of graphs.

研究动机与目标

• 为闭合对称图中整数识别码大小与分数识别码大小之间的差距，特别是顶点传递图和强正则图。
• 研究在非平凡族中，最优整数识别码与分数识别码之间的比值是否可能超过对数界。
• 在广义四边形（GQs）中构造显式识别码，GQs 是来自有限几何的顶点传递强正则图。
• 为 GQ(q, q²) 和 GQ(q², q) 建立识别码大小的紧致下界和上界，证明构造结果为最优。
• 将结果扩展至度量维数和定位-支配集，鉴于在直径为2的图中这些概念与识别码等价。

提出的方法

• 将识别码问题表述为整数线性规划，并将其松弛为分数线性规划。
• 利用顶点传递性，通过三个图参数：|V|、度数 d 和闭邻域最小对称差，精确计算最优分数识别码大小。
• 利用有限几何中广义四边形（GQs）的结构特性——特别是 PG(3, q²) 中的关联结构和厄米特曲面——定义码构造。
• 通过选取不相交直线的并集以及额外的直线，构造识别码，以确保所有顶点对可被分离。
• 通过共同邻居和对称差大小的组合界，结合对偶性和几何关联定理，证明最优性。
• 利用 H(3, q²) 与 Q⁻(5, q) 之间的对偶性，推导出非相邻点共同邻居的结构引理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在顶点传递图中，识别码是否能达到与分数松弛解相同的渐近大小？
• RQ2 广义四边形 GQ(q, q²) 和 GQ(q², q) 中识别码的最小大小是多少？是否为紧致界？
• RQ3 在具有超常数分数值的对称强正则图中，整数识别码与分数识别码大小的比值行为如何？
• RQ4 广义四边形在多大程度上提供了整数识别码大小与分数大小阶一致的实例？
• RQ5 能否将 GQ 中识别码的结果推广到直径为2图的度量维数和定位-支配集？

主要发现

• 对于 GQ(q, q²)，存在大小为 3q + 2 的识别码，且该构造为最优，与下界 3q + 2 一致。
• 对于 GQ(q², q)，存在大小为 5q² − 2 = Θ(n^{2/5}) 的识别码，其中 n = (q³ + 1)(q² + 1) 为顶点数。
• GQ(q², q) 的构造使用五条不相交的直线和两条额外的直线，且可通过移除五个点而保持识别性质。
• 任何 GQ(q², q) 中的识别码大小至少为 2q² − 2，证明该构造在常数因子范围内最优。
• 识别码大小的阶与分数松弛值一致，对应 GQ(q, q²)、GQ(q, q²) 和 GQ(q², q) 的 α 分别为 {1/4, 1/3, 2/5}。
• 结果表明，由于直径为2的结构以及与识别码的等价性，这些图中度量维数和定位-支配集的大小也具有最优阶 Θ(n^{α})。