[论文解读] Identities in plactic, hypoplactic, sylvester, Baxter, and related monoids

Alan J. Cain, António Malheiro|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了'类似plactic'的幺半群中的非平凡恒等式——包括hypoplactic、sylvester、Baxter、stalactic、taiga及其相关幺半群——通过组合插入算法与基于树的表示方法。研究证明，所有这些幺半群均满足非平凡恒等式，确定了其中最短的此类恒等式，并解决了plactic幺半群与patience sorting幺半群的恒等式状态问题，表明plactic幺半群不满足任何非平凡恒等式，而左、右patience sorting幺半群也仅在秩-1情况下满足平凡交换性之外的非平凡恒等式。

ABSTRACT

This paper considers whether non-trivial identities are satisfied by certain `plactic-like' monoids that, like the plactic monoid, are closely connected to combinatorics. New results show that the hypoplactic, sylvester, Baxter, stalactic, and taiga monoids satisfy identities, and indeed give shortest identities satisfied by these monoids. The existing state of knowledge is discussed for the plactic monoid and left and right patience sorting monoids.

研究动机与目标

• 确定各种'plactic-like'幺半群是否满足非平凡恒等式。
• 识别这些幺半群所满足的最短非平凡恒等式。
• 澄清关于plactic幺半群以及左/右patience sorting幺半群的现有知识状态。
• 研究有限生成幺半群中多项式增长与恒等式满足之间的关系。

提出的方法

• 使用插入算法（如Schensted算法、二叉搜索树插入）通过组合对象（如Young表和二叉搜索树）定义幺半群。
• 通过左右两棵二叉树的配对表示单词，以分析幺半群的恒等式。
• 应用同态映射，将Baxter幺半群中的恒等式与它的同态像（即sylvester和#sylvester幺半群）中的恒等式关联起来。
• 利用sylvester和#sylvester幺半群的左/右可消去性质，限制可能的恒等式形式。
• 借鉴相关幺半群中的已知恒等式（如Chinese幺半群中的Adian恒等式）作为比较基准。
• 通过分析单词长度与符号位置的案例，排除候选恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 hypoplactic、sylvester、Baxter、stalactic与taiga幺半群是否满足任何非平凡恒等式？
• RQ2 这些幺半群中每个所满足的最短非平凡恒等式是什么？
• RQ3 plactic幺半群是否满足任何非平凡恒等式？
• RQ4 左、右patience sorting幺半群是否满足任何非平凡恒等式？
• RQ5 有限秩plactic幺半群placn（n ≥ 4）是否满足某个非平凡恒等式？

主要发现

• hypoplactic幺半群满足恒等式xyxy = yxyx，且这是它所满足的最短非平凡恒等式。
• sylvester幺半群满足恒等式xyxy = yxxy，且这是它所满足的最短非平凡恒等式。
• #sylvester幺半群满足恒等式yxyx = yxxy，且这是它所满足的最短非平凡恒等式。
• Baxter幺半群满足恒等式yxxyxy = yxyxxy，且这是它所满足的最短非平凡恒等式。
• stalactic与taiga幺半群均满足恒等式xyx = yxx，且这是它们所满足的最短非平凡恒等式。
• plactic幺半群以及左、右patience sorting幺半群均不满足任何非平凡恒等式。