[论文解读] Identities involving q-Genocchi numbers and polynomials

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文通过在 $\mathbb{Z}_p$ 上使用费米子 $p$-进 $q$-积分，引入了 $q$-Genocchi 数与多项式的新恒等式与性质。通过梅林变换，推导出柯西积分公式、分布公式以及一种新的 $q$-Zeta 型函数，该函数在负整数处插值 $q$-Genocchi 多项式，将经典 Genocchi 数论推广至 $q$-框架，适用于 $p$-进分析与特殊函数研究。

ABSTRACT

In this paper, we focus on the q-Genocchi numbers and polynomials. We shall introduce new identities of the q-Genocchi numbers and polynomials by using the fermionic p-adic integral on Zp which are very important in the study of Frobenius-Genocchi numbers and polynomials. Also, we give Cauchy-integral formula for the q-Genocchi polynomials and moreover by using measure theory on p-adic integral we derive the distribution formula q-Genocchi polynomials. Finally, we present a new definition of q-Zeta-type function by using Mellin transformation which is the interpolation function of the q-Genocchi polynomials at negative integers.

研究动机与目标

• 通过在 $\mathbb{Z}_p$ 上使用费米子 $p$-进 $q$-积分，推导 $q$-Genocchi 数与多项式的新显式恒等式。
• 为 $q$-Genocchi 多项式建立柯西积分公式，实现复分析表示。
• 利用 $p$-进测度理论，推导 $q$-Genocchi 多项式的分布公式。
• 通过梅林变换引入一种新的 $q$-Zeta 型函数，该函数在负整数处插值 $q$-Genocchi 多项式。
• 将经典 Genocchi 数论推广至 $q$-形变框架，并应用于解析数论。

提出的方法

• 利用在 $\mathbb{Z}_p$ 上的费米子 $p$-进 $q$-积分，通过生成函数定义 $q$-Genocchi 多项式与数。
• 通过黎曼型求和的极限过程，将 $p$-进 $q$-积分定义为 $p$-进测度 $\mu_{-q}$。
• 通过将 $\mathbb{Z}_p$ 上的积分分解为 $d$-进分量，推导出分布公式，得到涉及 $G_{n,q}(dx)$ 与 $G_{n,q}(x + a/d)$ 的关系式。
• 对生成函数 $\mathcal{F}_q(x,t) = \frac{2t}{qe^t + 1}e^{xt}$ 应用梅林变换，定义 $q$-Zeta 型函数。
• 通过生成函数的 $k$ 阶导数定义 $G_{k,q}(x)$，利用极限过程，导出柯西积分表示。
• 通过比较生成函数的级数展开系数，推导出 $G_{m+1,q}(x)/(m+1)$ 与包含 $n^m$ 的 $q$-级数之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过在 $\mathbb{Z}_p$ 上使用费米子 $p$-进 $q$-积分，推导 $q$-Genocchi 数与多项式的新恒等式？
• RQ2 $q$-Genocchi 多项式的柯西积分公式是什么？它与生成函数有何关联？
• RQ3 在 $p$-进测度分解下，$q$-Genocchi 多项式的分布公式是什么？
• RQ4 如何通过对 $q$-Genocchi 生成函数进行梅林变换，构造出 $q$-Zeta 型函数？
• RQ5 $q$-Zeta 型函数与 $q$-Genocchi 多项式在负整数处的函数关系为何？

主要发现

• 建立了 $q$-Genocchi 多项式的柯西积分公式：$G_{n,q}(x) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \mathcal{F}_q(x,t) \frac{dt}{t^{n+1}}$，其中 $C$ 为正向环绕原点一次的闭合路径。
• 推导出分布公式：$G_{n,q}(dx) = d^{n-1} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a q^a G_{n,q}\left(x + \frac{a}{d}\right)$，对 $n \in \mathbb{N}^*$ 成立。
• 定义了 $q$-Zeta 型函数：$\zeta(s,x:q) = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n q^n}{n^s}$，该函数在负整数处插值 $q$-Genocchi 多项式。
• 证明了 $\zeta(-n,x:q) = \frac{G_{n+1,q}(x)}{n+1}$，建立了 $q$-Zeta 函数与 $q$-Genocchi 多项式之间的直接联系。
• 利用生成函数 $\mathcal{F}_q(x,t) = \frac{2t}{qe^t + 1}e^{xt}$ 推导出 $G_{k,q}(x) = \lim_{t \to 0} \frac{d^k}{dt^k} \left( \frac{2t}{qe^t + 1}e^{xt} \right)$，提供了微分刻画。
• 获得一个级数恒等式：$\frac{G_{m+1,q}(x)}{m+1} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^n n^m$，将 $q$-Genocchi 数与 $q$-级数联系起来。