[论文解读] Identities on the k-ary Lyndon words related to a family of zeta functions

İrem Küçükoğlu, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文建立了长度为素数的 k 元 Lyndon 单词的生成函数与特殊 zeta 型函数、Apostol-Bernoulli 数以及 Frobenius-Euler 数之间的显式联系。通过 Möbius 反演和生成函数恒等式，推导出以 Apostol-Bernoulli 数表示的闭式生成函数，并将其与 Hurwitz-Lerch zeta 函数及 Euler 数联系起来，为特殊数列提供了新的组合解释。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate and introduce relations between the numbers of k-ary Lyndon words and unified zeta-type functions which was defined by Ozden et al [15, p. 2785]. Finally, we give some identities on generating functions for the numbers of k-ary Lyndon words and some special numbers and polynomials such as the Apostol-Bernoulli numbers and polynomials, Frobenius-Euler numbers, Euler numbers and Bernoulli numbers.

研究动机与目标

• 探索并形式化 k 元 Lyndon 单词计数与 Ozden 等人引入的统一 zeta 型函数之间的关系。
• 利用特殊数列推导出长度为素数的 k 元 Lyndon 单词的生成函数。
• 将 Lyndon 单词的组合计数与 Apostol-Bernoulli 数、Frobenius-Euler 数及 Euler 数等特殊函数统一起来。
• 通过 Möbius 反演建立这些生成函数与 Hurwitz-Lerch zeta 函数及算术函数之间的恒等式关系。

提出的方法

• 推导出 $ p=2 $ 时的生成函数 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{1}{p} \frac{t^2}{(1-t)^3} $，与已知结果一致。
• 对恒等式 $ k^n = \bigsum_{d|n} d L_k(d) $ 应用 Möbius 反演，将 Lyndon 单词计数与幂和联系起来。
• 利用 Apostol-Bernoulli 数的生成函数 $ \frac{t}{ze^t - 1} $，将 $ f_{L_y}(t,p) $ 表示为 $ \frac{\beta_2(t)}{2p} - \frac{\beta_{p+1}(t)}{p(p+1)} $，其中 $ \beta_n(t) $ 为 Apostol-Bernoulli 数。
• 通过恒等式 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{t}{p} \big( H_1(1/t) - H_p(1/t) \big) $ 建立 $ f_{L_y}(t,p) $ 与 Frobenius-Euler 数之间的联系，其中 $ H_n(z) $ 为 Frobenius-Euler 数。
• 通过恒等式 $ \beta_n(z) = \frac{n}{z^{-1}} H_{n-1}(1/z) $ 将生成函数与 Hurwitz-Lerch zeta 函数联系起来，实现特殊函数与组合学的关联。
• 应用恒等式 $ \frac{B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}}{n+1} = \bigsum_{d|n} d \bigsum_{k=0}^m L_k(d) $，将幂和与 Lyndon 单词计数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 Apostol-Bernoulli 数表示长度为素数的 k 元 Lyndon 单词的生成函数？
• RQ2 生成函数 $ f_{L_y}(t,p) $ 与 Hurwitz-Lerch zeta 函数之间存在何种关系？
• RQ3 Frobenius-Euler 数与 Euler 数在 Lyndon 单词计数的背景下如何出现？
• RQ4 Möbius 反演能否用于推导出连接 Lyndon 单词计数与 Bernoulli 多项式及幂和的恒等式？
• RQ5 对于 $ p=2 $ 和 $ p=3 $ 等小素数，生成函数 $ f_{L_y}(t,p) $ 的显式形式是什么，其结果是否与已有文献一致？

主要发现

• 长度为素数 $ p $ 的 k 元 Lyndon 单词的生成函数为 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{\beta_2(t)}{2p} - \frac{\beta_{p+1}(t)}{p(p+1)} $，其中 $ \beta_n(t) $ 为 Apostol-Bernoulli 数。
• 当 $ p=2 $ 时，生成函数简化为 $ f_{L_y}(t,2) = \frac{t^2}{(1-t)^3} $，与先前文献中的已知结果一致。
• 当 $ p=3 $ 时，生成函数的值为 $ f_{L_y}(t,3) = \frac{2t^2}{(t-1)^4} $，与通式一致。
• 生成函数也可表示为 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{t}{p} \big( H_1(1/t) - H_p(1/t) \big) $，其中 $ H_n(z) $ 为 Frobenius-Euler 数。
• 将 $ z = -1 $ 代入 Frobenius-Euler 恒等式，可得 $ f_{L_y}(-1,p) = \frac{E_p - E_1}{p} $，其中 $ E_n $ 为 Euler 数。
• 恒等式 $ \bigsum_{d|n} d \bigsum_{k=0}^m L_k(d) = \frac{B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}}{n+1} $ 将 Lyndon 单词计数与 Bernoulli 多项式及幂和联系起来。