[论文解读] Interpolation function of the genocchi type polynomials

Burak Kurt, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 27被引用 36

一句话总结

本文引入了一类由三个正实数 a、b 和 c 参数化的新型 Genocchi 型多项式与数，通过 Lerch zeta 函数构建其生成函数与插值函数。主要贡献在于推导出一个广义经典 Genocchi 数并将其与特殊 zeta 函数相联系的插值函数，该函数在交错和与函数方程方面具有应用价值。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to construct not only generating functions of the new approach Genocchi type numbers and polynomials but also interpolation function of these numbers and polynomials which are related to a, b, c arbitrary positive real parameters. We prove multiplication theorem of these polynomials. Furthermore, we give some identities and applications associated with these numbers, polynomials and their interpolation functions.

研究动机与目标

• 通过三个任意正实参数 a、b 和 c 定义一类新的 Genocchi 型数与多项式。
• 为这些广义 Genocchi 数与多项式构造生成函数。
• 利用 Lerch zeta 函数为广义 Genocchi 数与多项式构建插值函数。
• 建立函数关系，包括乘法定理，并推导涉及这些数的恒等式。
• 将插值函数与已知特殊函数（如 Hurwitz 和 Lerch zeta 函数）以及交错 zeta 函数（Dirichlet eta 函数）相联系。

提出的方法

• 将 Genocchi 型数的生成函数定义为 $ F(t;a,b) = \frac{2t}{b^t + a^t} = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{G}_n(a,b) \frac{t^n}{n!} $，其在 $ |t| < \frac{\pi}{|\ln a - \ln b|} $ 范围内有效。
• 利用 umbral 微积分与生成函数推导 $ \mathcal{G}_n(a,b) $ 的递推关系，涉及 a 与 b 的对数项。
• 建立闭式表达：$ \mathcal{G}_n(a,b) = (\ln b - \ln a)^{n-1} G_n\left( \frac{\ln a}{\ln a - \ln b} \right) $，将其与经典 Genocchi 多项式相联系。
• 定义插值函数 $ \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}(s,x;a,b,c) = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(x + n \ln c / \ln b)^s} $，该函数广义化了 Lerch zeta 函数。
• 通过对生成函数应用微分算子 $ \frac{d^k}{dt^k} \big|_{t=0} $ 来构建插值函数。
• 建立插值函数与已知特殊函数之间的联系，包括 Hurwitz zeta 函数、Dirichlet eta 函数与 polylogarithm 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用三个任意正实数参数 a、b 和 c 广义化 Genocchi 型数与多项式？
• RQ2 这些广义 Genocchi 数的插值函数的函数形式是什么？它与特殊 zeta 函数有何关系？
• RQ3 这些广义多项式是否满足某些恒等式与函数方程（如乘法定理）？
• RQ4 插值函数如何与经典 Lerch zeta 函数及其他特殊函数（如 Hurwitz 与 Dirichlet zeta 函数）相联系？
• RQ5 插值函数能否用于表达连续整数幂的交错和？

主要发现

• 证明了插值函数 $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;a,b,1) $ 满足 $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(-n,1;a,b,1) = \frac{\mathcal{G}_n(a,b)}{n} $，其中 n 为正整数。
• 函数 $ \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}(s,x;1,e,e) $ 被识别为 $ -2\Phi(-1,s,x) $，从而与交错 zeta 函数（Dirichlet eta 函数）相联系。
• 当 $ a=1, b=c=e $ 时，插值函数简化为 $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;1,e,e) = -2\zeta^*(s) $，即 Dirichlet eta 函数的相反数。
• 证明了广义 Genocchi 多项式具有乘法定理，扩展了经典结果。
• 广义 Genocchi 数 $ \mathcal{G}_n(a,b) $ 通过 $ \mathcal{G}_n(a,b) = (\ln b - \ln a)^{n-1} G_n\left( \frac{\ln a}{\ln a - \ln b} \right) $ 以经典 Genocchi 数表示。
• 证明了插值函数满足一个涉及单位根之和的函数方程，从而推出推论 16：$ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;a,b,1) = \frac{1}{y^s} \sum_{j=1}^y (-1)^j \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}\left(s,1;a,b,\frac{b^{j/y}}{a^{(y+j-1)/y}}\right) $，其中 y 为奇数整数。