[论文解读] Potential of quantum finite automata with exact acceptance

Jozef Gruska, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用 12

一句话总结

本文证明，精确量子有限自动机（QFA）可在仅使用三个量子基态的情况下，以常数状态复杂度解决某些承诺问题，而经典确定性有限自动机（DFA）所需的状态数则随问题参数线性增长。关键结果表明，即使在输入不具高度对称或结构化的情况下，精确量子计算仍能实现指数级状态压缩，挑战了‘此类优势需依赖特殊问题结构’的普遍信念。

ABSTRACT

The potential of the exact quantum information processing is an interesting, important and intriguing issue. For examples, it has been believed that quantum tools can provide significant, that is larger than polynomial, advantages in the case of exact quantum computation only, or mainly, for problems with very special structures. We will show that this is not the case. In this paper the potential of quantum finite automata producing outcomes not only with a (high) probability, but with certainty (so called exactly) is explored in the context of their uses for solving promise problems and with respect to the size of automata. It is shown that for solving particular classes $\{A^n\}_{n=1}^{\infty}$ of promise problems, even those without some very special structure, that succinctness of the exact quantum finite automata under consideration, with respect to the number of (basis) states, can be very small (and constant) though it grows proportional to $n$ in the case deterministic finite automata (DFAs) of the same power are used. This is here demonstrated also for the case that the component languages of the promise problems solvable by DFAs are non-regular. The method used can be applied in finding more exact quantum finite automata or quantum algorithms for other promise problems.

研究动机与目标

• 研究精确量子有限自动机（QFA）是否能在输入参数缺乏高度对称或结构化特征的承诺问题中实现显著的状态压缩。
• 挑战主流观点，即精确计算中的指数级量子加速需依赖问题具有极特殊结构属性。
• 证明即使对于参数间关系松散的承诺问题（例如，N 和 l 满足 0 < l < N），精确QFA仍可相对于经典DFA实现指数级更优的状态压缩。
• 将先前针对参数具结构性（如 N = 2^{k+1}, l = 2^k）的承诺问题结果推广至任意固定的正整数 N 和 l。
• 提出一种构造精确MOQFA的可行方法，使其使用最少的量子基态，并确定解决相同承诺问题所需的最小DFA规模。

提出的方法

• 本文引入一个一元承诺问题 A^{N,l} = (A_{yes}^{N,l}, A_{no}^{N,l})，其中 A_{yes}^{N,l} = {a^{iN} | i ≥ 0}，A_{no}^{N,l} = {a^{iN+l} | i ≥ 0}，且固定 N 和 l 满足 0 < l < N。
• 构造了一个恰好包含三个量子基态的测量一次单向量子有限自动机（MOQFA），可确准确地解决 A^{N,l} 问题。
• 该方法利用三维实希尔伯特空间中的量子干涉与相位调控，通过在量子振幅中编码周期性与偏移信息，实现对 a^{iN} 与 a^{iN+l} 形式输入的区分。
• 为进行经典对比，推导出解决同一承诺问题所需的最小DFA规模，证明其等于满足 d 整除 N 但不整除 l 的最小正整数 d。
• 证明基于DFA中的环路结构：假设存在更小规模的DFA，将因周期性状态转移而导致输入被错误接受或拒绝。
• 该构造方法被推广至二元承诺问题，并表明该方法可扩展至其他承诺问题，暗示其在精确量子算法中具有更广泛的应用潜力。

实验结果

研究问题

• RQ1 精确量子有限自动机是否能在缺乏高度对称或结构化输入参数的承诺问题中实现指数级状态压缩？
• RQ2 精确量子计算的指数级优势是否仅限于‘yes’与‘no’输入参数间存在特定结构关系（如 N 与 N/2）的问题？
• RQ3 一个三状态MOQFA是否能解决比先前研究中 N = 2^{k+1}, l = 2^k 更广泛的单字母承诺问题类别？
• RQ4 解决由三状态精确MOQFA可解的同一类承诺问题，所需的最小经典状态数是多少？
• RQ5 所提出的方法是否可推广，以构造其他具有非正则分量语言的承诺问题的精确量子算法？

主要发现

• 对于任意固定的正整数 N 和 l 满足 0 < l < N，承诺问题 A^{N,l} 可被仅使用三个量子基态的测量一次单向量子有限自动机（MOQFA）精确求解。
• 解决同一承诺问题的最小确定性有限自动机（DFA）至少需要 d 个状态，其中 d 是满足 d 整除 N 但不整除 l 的最小正整数。
• 当 N 为素数时，最小DFA恰好需要 N 个状态，表明DFA规模随 N 线性增长，而量子自动机始终保持三个状态的常数规模。
• 本文将先前仅针对 N = 2^{k+1}, l = 2^k 的结果推广，证明即使在 N 与 l 为任意固定正整数且满足 0 < l < N 的情况下，精确QFA的指数级状态压缩特性依然成立。
• 构造三状态MOQFA的方法具有通用性，可推广应用于设计其他承诺问题的精确量子有限自动机，包括二进制字母表情形。
• 结果表明，即使在‘yes’与‘no’输入集合缺乏高度结构化特征的问题中，状态复杂度的指数级量子加速仍可实现，从而挑战了‘此类优势需依赖特殊问题结构’的假设。