[论文解读] Impredicative Encodings of (Higher) Inductive Types

Steve Awodey, Jonas Frey+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文提出了一种类型论方法，用于改进依赖类型理论中归纳类型和高阶归纳类型的不自洽编码，通过内化参数性和余自然性并利用同伦类型论中的同伦类型，恢复 $η$-规则并实现依赖消除。关键贡献是为不自洽编码建立了可证明的、内化的 $η$-等式，从而使得自然数和高阶归纳类型（如圆 $ℂ^1$ 和 1-截断）能够实现完整的依赖消除器。

ABSTRACT

Postulating an impredicative universe in dependent type theory allows System F style encodings of finitary inductive types, but these fail to satisfy the relevant η-equalities and consequently do not admit dependent eliminators. To recover η and dependent elimination, we present a method to construct refinements of these impredicative encodings, using ideas from homotopy type theory. We then extend our method to construct impredicative encodings of some higher inductive types, such as 1-truncation and the unit circle S1.

研究动机与目标

• 解决类型论中不自洽编码长期存在的问题：即不满足 $η$-规则和依赖消除。
• 为诸如自然数和二元和等有限归纳类型恢复 $η$-等式和依赖消除器。
• 将该方法扩展至高阶归纳类型，包括 1-截断和单位圆 $ℂ^1$，基于同伦类型论原理。
• 提供一种完全内化的、类型论化的不自洽编码精炼方法，避免依赖外部模型或语义。
• 通过可实现性模型和群对象模型建立精炼编码的一致性和模型论基础。

提出的方法

• 使用同伦类型内化参数性和余自然性，通过同伦类型改进不自洽编码，确保命题式 $η$-等式。
• 应用类型论版本的 Yoneda 引理，恢复非递归类型（如 $A + B$）的 $η$-规则。
• 通过不自洽编码构造初始代数，使归纳类型支持依赖消除。
• 利用同伦类型论中的 $0$-类型和 $n$-类型概念，将方法推广至 $1$-类型和更高阶归纳类型。
• 在 $0$-类型层利用同伦证明的唯一性（UIP）从命题式 $η$-等式推导出依赖消除器。
• 在包含一个不自洽类型 $Σ$ 的类型论中形式化编码，该类型在小和与同伦类型下封闭，支持对一致性和普遍性的内部推理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在类型论内部通过精炼不自洽编码，使有限归纳类型的 $η$-规则和依赖消除得以满足？
• RQ2 如何在类型论中内化参数性和余自然性，以在不依赖外部模型的情况下恢复 $η$-等式？
• RQ3 该方法能否扩展至高阶归纳类型（如 $1$-截断和单位圆 $ℂ^1$）？
• RQ4 为将编码方法推广至 $n$-类型（$n > 1$）需要哪些一致性条件？这些条件是否可处理？
• RQ5 在可实现性模型和群对象模型中，精炼编码的一致性强度和模型论基础是什么？

主要发现

• 精炼后的不自洽编码满足命题式 $η$-等式，如 [AGS12, AGS17] 所示，这些等式足以推导出依赖消除器。
• 自然数 $ℕ$ 的编码 $∀ X. olinebreak (X \to X) \to X \to X$ 通过同伦类型得到精炼，支持依赖消除。
• 二元和 $A + B$ 通过不自洽编码实现，并利用 Yoneda 风格论证恢复其 $η$-规则。
• 该方法成功地通过不自洽构造编码了类型 $1$-截断和单位圆 $ℂ^1$ 作为高阶归纳类型。
• 编码在截断层级下保持稳定：例如，即使在 $1$-类型上下文中构造，$ℕ$ 的编码仍为 $0$-类型。
• 一个包含不自洽类型且在和与同伦类型下封闭的可实现性模型验证了该系统；群对象模型支持 $1$-类型。