[论文解读] Improved Approximation Lower Bounds for Vertex Cover on Power Law Graphs and Some Generalizations

Mikael Gast, Mathias Hauptmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 6

一句话总结

本论文通过基于轮结构的有界度放大器构造与多重图嵌入，建立了连通幂律图（PLG）及其函数推广形式下最小点覆盖（Min-VC）问题的显式不可近似下界。证明了当 0 < β < β_max ≈ 2.48 时，连通 (α, β)-PLG 多重图中的 Min-VC 为 APX-难问题，且对于函数型 β = 1 ± 1/f(n) 且 f(n) = ω(log n) 的情形，给出了显式的近似比下界 1 + ϵ_d / (1 + 2d)。

ABSTRACT

We prove new explicit inapproximability results for the Vertex Cover Problem on the Power Law Graphs and some functional generalizations of that class of graphs. Our results depend on special bounded degree amplifier constructions for those classes of graphs and could be also of independent interest.

研究动机与目标

• 弥合已知 Min-VC 在幂律图上的近似上界与不可近似下界之间的差距。
• 将先前针对不连通图的不可近似性结果扩展至连通的 (α, β)-PLG 多重图。
• 分析函数型幂律度分布下 Min-VC 的困难性，其中 β = 1 ± 1/f(n)，且 f(n) 增长迅速。
• 提出一种专为 (α, β)-PLG 结构特性量身定制的新型有界度放大器构造方法。
• 在连通及函数型 PLG 类别中，建立 Min-VC 的显式、可量化的不可近似因子。

提出的方法

• 通过基于轮结构的图构造，将特殊有界度放大器嵌入 (α, β)-PLG 多重图中。
• 采用区间大小估计技术，分析 β = 1 ± 1/f(n) 时 (α, β)-PLG 中的节点度分布。
• 利用度序列的渐近分析与舍入误差估计，界定特定度区间内节点数的上下界。
• 将 Min-VC_d 的困难实例通过归约映射至 (α, β)-PLG，保持近似比差距不变。
• 利用对区间 [x∆, y∆] 与 (y∆, z∆] 大小的估计，嵌入辅助图并维持问题的困难性。
• 利用 f(n) = ω(log n) 确保度区间估计的收敛性，并保持渐近正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 0 < β < β_max ≈ 2.48 的连通 (α, β)-PLG 多重图中，Min-VC 是否为 APX-难问题？
• RQ2 能否为函数型幂律图中 Min-VC 建立显式的不可近似下界，其中 β = 1 ± 1/f(n) 且 f(n) = ω(log n)？
• RQ3 不连通 PLG 中的困难性结果是否可推广至连通情形？
• RQ4 当 β 是 n 的函数而非常数时，(α, β)-PLG 中 Min-VC 的精确近似比下界是什么？
• RQ5 相同的困难性结果能否扩展至 β = β ± 1/f(n) 且 0 < β < β_max 的情形？

主要发现

• 在连通 (α, β)-PLG 多重图中，当 0 < β < β_max ≈ 2.48 时，Min-VC 为 APX-难问题。
• 对于函数型 β = 1 − 1/f(n) 且 f(n) = ω(log n) 的情形，Min-VC 不可近似比为 1 + ϵ_d / (1 + 2d)，其中 ϵ_d 为 Min-VC_d 的不可近似比。
• 对于函数型 β = 1 + 1/f(n) 且 f(n) = ω(log n) 的情形，相同的不可近似比 1 + ϵ_d / (1 + 2d) 成立。
• 在 β = 1 ± 1/f(n) 的 (α, β)-PLG 中，度区间 [1, ∆f] 内的节点数满足 |[1, ∆f]| = (1 ± o(1)) · α · e^α。
• 区间 [x∆f, y∆f] 的大小，其中 x = e^{-(1−c')α}，y = e^{-(1−c)α}，为 (1 ± o(1)) · |[1, ∆f]|。
• 在 (y∆f, z∆f] 区间内的节点数，其中 z = e^{-(1−c'')α}，为 o(|Gα,βf|)，足以嵌入辅助图并维持问题的困难性。