[论文解读] Improved ARV Rounding in Small-set Expanders and Graphs of Bounded Threshold Rank

Shayan Oveis Gharan, Luca Trevisan|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 3

一句话总结

本论文提出一个结构定理，表明在低阈值秩图和小集合扩张图上，Arora-Rao-Vazirani (ARV) 半定规划松弛的最优解几乎可被少量有界半径球覆盖。论文提出一种舍入方案，可在 $O(\sqrt{\log k})$ 近似因子下实现 ARV 松弛的近似，同时通过 $k$ 阶 Sherali-Adams 层次结构实现常数因子近似，其中 $k$ 为覆盖球的数量。

ABSTRACT

We prove a structure theorem for the feasible solutions of the Arora-Rao-Vazirani SDP relaxation on low threshold rank graphs and on small-set expanders. We show that if G is a graph of bounded threshold rank or a small-set expander, then an optimal solution of the Arora-Rao-Vazirani relaxation (or of any stronger version of it) can be almost entirely covered by a small number of balls of bounded radius. Then, we show that, if k is the number of balls, a solution of this form can be rounded with an approximation factor of O(sqrt {log k}) in the case of the Arora-Rao-Vazirani relaxation, and with a constant-factor approximation in the case of the k-th round of the Sherali-Adams hierarchy starting at the Arora-Rao-Vazirani relaxation. The structure theorem and the rounding scheme combine to prove the following result, where G=(V,E) is a graph of expansion ϕ(G), λ_k is the k-th smallest eigenvalue of the normalized Laplacian of G, and ϕ_k(G) = \min_{disjoint S_1,...,S_k} \max_{1 <= i <= k} ϕ(S_i) is the largest expansion of any k disjoint subsets of V: if either λ_k >> log^{2.5} k \cdot phi(G) or ϕ_{k} (G) >> log k \cdot sqrt{log n}\cdot loglog n\cdot ϕ(G), then the Arora-Rao-Vazirani relaxation can be rounded in polynomial time with an approximation ratio O(sqrt{log k}). Stronger approximation guarantees are achievable in time exponential in k via relaxations in the Lasserre hierarchy. Guruswami and Sinop [GS13] and Arora, Ge and Sinop [AGS13] prove that 1+eps approximation is achievable in time 2^{O(k)} poly(n) if either λ_k > ϕ(G)/ poly(eps), or if SSE_{n/k} > sqrt{log k log n} \cdot ϕ(G)/ poly(eps), where SSE_s is the minimal expansion of sets of size at most s.

研究动机与目标

• 为有界阈值秩或小集合扩张性质的图中的均匀最稀疏割问题设计一个多项式时间近似算法。
• 以有界半径球覆盖的形式，建立 ARV 松弛最优解的结构性表征。
• 在标准 $O(\sqrt{\log n})$ 边界之外，改进受限图类中 ARV 舍入方案的近似因子。
• 证明通过 Sherali-Adams 层次结构的 $k$ 阶迭代，可在时间 $2^{O(k)}$ 内实现常数因子近似。
• 识别出足以使改进近似在理论上有效的谱或扩张条件。

提出的方法

• 证明一个结构定理：任意低阈值秩图或小集合扩张图上 ARV 松弛的最优解几乎可被 $k$ 个有界半径球完全覆盖。
• 利用度量嵌入与概率舍入技术，从球覆盖结构构造一个割。
• 基于 Frechet 嵌入 $f(v) = d(a_1, v)$ 设计一种随机舍入方案，以在集合 $A$ 上导出具有较大 $\ell_1$ 偏差的割。
• 利用三角不等式与集中度量，将原始度量 $d^2_{\mathbf{x}}$ 中的距离与舍入后度量 $d(\cdot, \cdot)$ 中的距离关联起来。
• 应用 $k$ 阶 Sherali-Adams 层次结构强化松弛，使在时间 $2^{O(k)}$ 内实现常数因子近似成为可能。
• 应用概率论证表明，以常数概率，舍入后的度量可保持集合 $A$ 上较大的 $\ell_1$ 偏差，从而确保获得优质割。

实验结果

研究问题

• RQ1 ARV 舍入方案是否可在有界阈值秩或小集合扩张图中得到改进？
• RQ2 在何种谱或扩张条件下，ARV 松弛可实现 $O(\sqrt{\log k})$ 近似？
• RQ3 对 ARV 松弛应用 Sherali-Adams 层次结构是否可在时间指数级于 $k$ 的条件下实现常数因子近似？
• RQ4 此类图中 ARV 解是否存在可支持更好舍入的结构性质？
• RQ5 $\lambda_k$、$\phi_k(G)$ 与通过 ARV 松弛可实现的近似比之间有何关系？

主要发现

• 在有界阈值秩或小集合扩张图上，ARV 松弛的最优解几乎可被 $k$ 个有界半径球完全覆盖。
• 对于此类图，ARV 松弛可在多项式时间内以 $O(\sqrt{\log k})$ 近似因子实现舍入。
• 若 $\lambda_k \gtrsim \log^{2.5}k \cdot \phi(G)$ 或 $\phi_k(G) \gtrsim \log k \cdot \sqrt{\log n} \cdot \log\log n \cdot \phi(G)$，则 ARV 松弛可在多项式时间内实现 $O(\sqrt{\log k})$ 近似。
• 通过从 ARV 松弛出发应用 $k$ 阶 Sherali-Adams 层次结构，可在时间 $2^{O(k)}$ 内实现常数因子近似。
• 该舍入方案依赖于基于大小为 $2k$ 的中心集 $C$ 构建的 Frechet 嵌入，其距离保持性通过三角不等式与度量集中性保证。
• 一个关键技术步骤表明 $\sum_{u,v \in A} |f(u) - f(v)| \gtrsim n^2 / \sqrt{\log k}$，这表明以高概率可获得优质割。