[论文解读] Multivariate Analysis of Orthogonal Range Searching and Graph Distances Parameterized by Treewidth

Karl Bringmann, Thore Husfeldt+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文提出了一种针对图距离（如偏心率、直径、半径和Wiener指数）的多变量算法分析，参数化为树宽。通过将正交范围搜索的分析从 $\log^d n$ 改进为 $\binom{d + \lceil \log n \rceil}{d}$，作者实现了运行时间 $O(n \cdot \binom{k + \lceil \log n \rceil}{k} \cdot 2^k k^2 \log n)$，其中 $k = 5\operatorname{tw}(G) + 4$，在正交向量猜想下与已知的下界相匹配。

ABSTRACT

We show that the eccentricities, diameter, radius, and Wiener index of an undirected $n$-vertex graph with nonnegative edge lengths can be computed in time $O(n\cdot \binom{k+\lceil\log n ceil}{k} \cdot 2^k k^2 \log n)$, where $k$ is the treewidth of the graph. For every $ε>0$, this bound is $n^{1+ε}\exp O(k)$, which matches a hardness result of Abboud, Vassilevska Williams, and Wang (SODA 2015) and closes an open problem in the multivariate analysis of polynomial-time computation. To this end, we show that the analysis of an algorithm of Cabello and Knauer (Comp. Geom., 2009) in the regime of non-constant treewidth can be improved by revisiting the analysis of orthogonal range searching, improving bounds of the form $\log^d n$ to $\binom{d+\lceil\log n ceil}{d}$, as originally observed by Monier (J. Alg. 1980). We also investigate the parameterization by vertex cover number.

研究动机与目标

• 为有界树宽图中图距离的计算，弥合上界与下界之间的差距。
• 改进非恒定树宽情形下高维空间中正交范围搜索的分析。
• 将Cabello和Knauer的算法适用范围扩展至Wiener指数计算。
• 在正交向量猜想下建立紧致的参数化复杂度界限。
• 研究以顶点覆盖数为参数化方式，作为树宽的替代方案。

提出的方法

• 使用 $B(n,d) = \binom{d + \lceil \log n \rceil}{d}$ 替代 $\log^d n$ 来重新分析 $d$-维范围树，以提升渐近性能。
• 基于偏斜 $k$-分隔树采用分治策略，递归计算偏心率。
• 使用带有幺半群 $(\mathbb{Z}, \max)$ 的正交范围查询，计算每个顶点到分隔集一侧顶点的最大距离。
• 通过将范围查询幺半群修改为同时追踪距离的计数与总和，将算法扩展以计算Wiener指数。
• 在 $k$-大小的分隔集上使用Dijkstra算法预计算距离，并添加捷径以提高效率。
• 交换左右子树的角色，以确保在偏心率计算中考虑所有顶点对。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在计算图距离的算法中，将对树宽的依赖性改进至 $n^{1+\epsilon} \exp O(\operatorname{tw}(G))$ 以下？
• RQ2 在标准复杂度假设下，$O(n \cdot \binom{k + \lceil \log n \rceil}{k} \cdot 2^k k^2 \log n)$ 的界是否紧致？
• RQ3 能否对正交范围搜索的分析进行细化，以实现对维度和 $n$ 更优的依赖关系？
• RQ4 Wiener指数计算是否能获得与下界相匹配的参数化算法？
• RQ5 以顶点覆盖数为参数化方式与树宽相比，在算法效率上表现如何？

主要发现

• 本文在计算偏心率、直径、半径和Wiener指数时，实现了运行时间 $O(n \cdot \binom{k + \lceil \log n \rceil}{k} \cdot 2^k k^2 \log n)$，其中 $k = 5\operatorname{tw}(G) + 4$。
• 该界对任意 $\epsilon > 0$ 均为 $n^{1+\epsilon} \exp O(\operatorname{tw}(G))$，与Abboud等人在正交向量猜想下的下界结果一致。
• 对正交范围搜索分析的改进，将查询时间从 $O(\log^d n)$ 降低至 $O(\binom{d + \lceil \log n \rceil}{d})$，后者对任意 $\epsilon > 0$ 均为 $n^{\epsilon} \exp O(d)$。
• 当以顶点覆盖数 $k$ 为参数时，Wiener指数可在 $O(nk \cdot 2^k)$ 时间内计算，与偏心率计算的复杂度相匹配。
• 该Wiener指数算法在正交向量猜想下是紧致的，因为它能在亚二次时间内区分直径为2与3的情况。
• 该分析弥合了树宽参数化图距离计算的最优已知上界与已知下界之间的差距。