[论文解读] Improved bounds and parallel algorithms for the Lovasz Local Lemma.

Bernhard Haeupler, David G. Harris|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新的并行 Lovász 局部引理（LLL）算法，仅通过一次最大独立集（MIS）计算，即可在 $O(\log^2 n)$ 时间内完成，其效率与之前更快的算法相当，且在与原始 Moser-Tardos 算法相同的广泛条件下运行。该工作还为串行与并行重采样算法提供了更优的运行时间界，并扩展至一种确定性 NC 算法，且无需依赖复杂的加权函数。

ABSTRACT

The Lovasz Local Lemma (LLL) is a cornerstone principle in the probabilistic method of combinatorics, and a seminal algorithm of Moser & Tardos (2010) provided an efficient randomized algorithm to implement it. This algorithm could be parallelized to give an algorithm that uses polynomially many processors and $O(\log^3 n)$ time, stemming from $O(\log n)$ adaptive computations of a maximal independent set (MIS). Chung et. al. (2014) developed faster local and parallel algorithms, potentially running in time $O(\log^2 n)$, but these algorithms work under significantly more stringent conditions than the LLL. We give a new parallel algorithm, that works under essentially the same conditions as the original algorithm of Moser & Tardos, but uses only a single MIS computation, thus running in $O(\log^2 n)$ time. This conceptually new algorithm also gives a clean combinatorial description of a satisfying assignment which might be of independent interest. Our techniques extend to the deterministic LLL algorithm given by Chandrasekaran et al (2013) leading to an NC-algorithm running in time $O(\log^2 n)$ as well. We also provide improved bounds on the run-times of the sequential and parallel resampling-based algorithms originally developed by Moser & Tardos. These bounds extend to any problem instance in which the tighter Shearer LLL criterion is satisfied. We also improve on the analysis of Kolipaka & Szegedy (2011) to give tighter concentration results. Interestingly, we are able to give bounds which are independent of the (somewhat mysterious) weighting function used in formulations of the asymmetric LLL.

研究动机与目标

• 开发一种在与原始 Moser-Tardos 算法相同条件下运行的更快并行 LLL 算法。
• 将 MIS 计算次数从 $O(\log n)$ 减少至仅一次，从而将时间复杂度优化至 $O(\log^2 n)$。
• 在满足 Shearer 准则时，为基于重采样的串行与并行 LLL 算法提供更紧的运行时间界。
• 将结果扩展至 Chandrasekaran 等人提出的确定性 LLL 算法，实现一种运行时间在 $O(\log^2 n)$ 内的 NC 算法。
• 消除对不对称 LLL 公式中加权函数的依赖，简化分析并提升通用性。

提出的方法

• 设计一种新颖的并行算法，仅执行一次 MIS 计算，与之前工作相比显著减少了自适应轮次。
• 利用对满足赋值的简洁组合刻画，简化分析并支持高效并行化。
• 应用 Moser-Tardos 重采样框架中的技术，但通过单次 MIS 重构依赖关系解析，以减少并行轮次。
• 将分析扩展至 Chandrasekaran 等人提出的确定性 LLL 算法，使其适配以实现时间复杂度为 $O(\log^2 n)$ 的 NC 算法。
• 通过改进 Kolipaka 与 Szegedy 的分析，获得更紧的集中度界，且无需依赖任意加权函数。
• 以 Shearer LLL 准则作为更紧的条件，推导出适用于更广泛问题实例的改进运行时间界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种仅通过一次 MIS 计算的并行 LLL 算法，同时保持与 Moser-Tardos 算法相同的适用条件？
• RQ2 当满足 Shearer 准则时，基于重采样的 LLL 算法的最紧可能运行时间界是什么？
• RQ3 能否高效地将确定性 LLL 算法并行化，以实现时间复杂度为多项式对数的 NC 算法？
• RQ4 如何通过消除对不对称 LLL 加权函数的依赖，简化 LLL 算法的分析？
• RQ5 通过改进重采样过程的分析，可获得哪些更优的集中度界？

主要发现

• 所提出的并行算法仅通过一次 MIS 计算，即可在 $O(\log^2 n)$ 时间内运行，显著优于以往的 $O(\log^3 n)$ 算法。
• 该算法保持了与原始 Moser-Tardos 算法相同的适用条件，确保了广泛的实际适用性。
• 在满足 Shearer LLL 准则时，为串行与并行重采样算法建立了更优的运行时间界，适用于满足此更紧条件的任意实例。
• 在 $O(\log^2 n)$ 时间内实现了 LLL 的确定性 NC 算法，将 Chandrasekaran 等人的结果扩展至并行环境。
• 为重采样过程推导出更紧的集中度界，优于 Kolipaka 与 Szegedy 的分析，且不依赖复杂的加权函数。
• 新算法提供了对满足赋值的清晰组合描述，其本身可能在算法应用之外也具有独立兴趣。