[论文解读] Improved Bounds on Fourier Entropy and Min-Entropy

Srinivasan Arunachalam, Sourav Chakraborty+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 74被引用 3

一句话总结

本论文通过证明傅里叶熵与证书复杂度之间的更紧界，推进了傅里叶熵-影响（FEI）猜想，展示了 H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓) 和 H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓)。它验证了读-𝑘DNF类上的傅里叶最小熵-影响（FMEI）猜想，并表明度数为 𝑑、稀疏度为 2𝜔(𝑑) 的平坦块-多线性多项式无法以 1/3 的近似度逼近布尔函数，为在 FEI 猜想下多项式逼近的结构提供了新的见解。

ABSTRACT

Given a Boolean function $f:\{-1,1\}^n o \{-1,1\}$, the Fourier distribution assigns probability $\widehat{f}(S)^2$ to $S\subseteq [n]$. The Fourier Entropy-Influence (FEI) conjecture of Friedgut and Kalai asks if there exist a universal constant C>0 such that $H(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$, where $H(\hat{f}^2)$ is the Shannon entropy of the Fourier distribution of $f$ and $Inf(f)$ is the total influence of $f$. 1) We consider the weaker Fourier Min-entropy-Influence (FMEI) conjecture. This asks if $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$, where $H_{\infty}(\hat{f}^2)$ is the min-entropy of the Fourier distribution. We show $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2C_{\min}^\oplus(f)$, where $C_{\min}^\oplus(f)$ is the minimum parity certificate complexity of $f$. We also show that for every $ε\geq 0$, we have $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2\log (\|\hat{f}\|_{1,ε}/(1-ε))$, where $\|\hat{f}\|_{1,ε}$ is the approximate spectral norm of $f$. As a corollary, we verify the FMEI conjecture for the class of read-$k$ $DNF$s (for constant $k$). 2) We show that $H(\hat{f}^2)\leq 2 aUC^\oplus(f)$, where $aUC^\oplus(f)$ is the average unambiguous parity certificate complexity of $f$. This improves upon Chakraborty et al. An important consequence of the FEI conjecture is the long-standing Mansour's conjecture. We show that a weaker version of FEI already implies Mansour's conjecture: is $H(\hat{f}^2)\leq C \min\{C^0(f),C^1(f)\}$?, where $C^0(f), C^1(f)$ are the 0- and 1-certificate complexities of $f$, respectively. 3) We study what FEI implies about the structure of polynomials that 1/3-approximate a Boolean function. We pose a conjecture (which is implied by FEI): no "flat" degree-$d$ polynomial of sparsity $2^{ω(d)}$ can 1/3-approximate a Boolean function. We prove this conjecture unconditionally for a particular class of polynomials.

研究动机与目标

• 通过未明确证书复杂度改进傅里叶熵的上界，推进 FEI 猜想。
• 利用最小奇偶性证书复杂度和近似谱范数，建立傅里叶最小熵的新界。
• 研究在 FEI 猜想下，能以 1/3 近似布尔函数的多项式的结构约束。
• 验证常数 𝑘 下读-𝑘DNF 类的 FMEI 猜想。
• 探索 FEI 猜想与通过平坦多项式猜想联系的 Bohnenblust-Hille 不等式之间的关系。

提出的方法

• 引入平均未明确奇偶性证书复杂度（aUC⊕(𝑓)）作为傅里叶熵的代理，证明 H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓)。
• 定义最小奇偶性证书复杂度 C⊕min(𝑓)，并证明 H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓)，用于最小熵。
• 使用近似谱范数 ∥𝑓̂∥1,𝜀，推导出对所有 𝜀 ≥ 0，有 H∞(𝑓̂²) ≤ 2 log(∥𝑓̂∥1,𝜀/(1−𝜀))。
• 将这些界应用于通过利用其有界证书复杂度，验证读-𝑘DNF 类的 FMEI 猜想。
• 提出一个猜想：度数为 𝑑、稀疏度为 2𝜔(𝑑) 的平坦块-多线性多项式无法以 1/3 近似度逼近布尔函数。
• 无条件证明了该猜想在一类多项式上的成立，并将其与 Bohnenblust-Hille 常数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 傅里叶熵能否由平均未明确证书复杂度界定，这与 FEI 猜想有何关联？
• RQ2 傅里叶最小熵是否满足 H∞(𝑓̂²) ≤ 𝐶·Inf(𝑓) 对所有布尔函数成立，且能否在读-𝑘DNF 类上验证？
• RQ3 FEI 猜想能否用于排除某些类的平坦多项式逼近布尔函数？
• RQ4 是否存在一个通用常数 𝜆，使得 H(𝑓̂²) ≤ 𝜆·min{C1(𝑓), C0(𝑓)} 以解决 Mansour 猜想？
• RQ5 平坦多项式逼近与 Bohnenblust-Hille 不等式之间有何联系？

主要发现

• 论文证明了 H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓)，改进了先前的界，并将 FEI 与未明确证书复杂度联系起来。
• 论文建立了 H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓)，利用最小奇偶性证书复杂度提供了紧致的最小熵界。
• 通过新最小熵界，验证了常数 𝑘 下读-𝑘DNF 类的 FMEI 猜想。
• 推导出新界 H∞(𝑓̂²) ≤ 2 log(∥𝑓̂∥1,𝜀/(1−𝜀))，将最小熵与近似谱范数联系起来。
• 论文无条件证明了度数为 𝑑、稀疏度为 2𝜔(𝑑) 的平坦块-多线性多项式无法以 1/3 近似度逼近任何布尔函数。
• 建立了平坦多项式猜想与 Bohnenblust-Hille 不等式之间的有趣联系，暗示了更深层次的泛函分析关联。