[论文解读] Improved Distributed Expander Decomposition and Nearly Optimal Triangle Enumeration

Yi‐Jun Chang, Thatchaphol Saranurak|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新型分布式算法，用于在 CONGEST 模型中进行展开图分解，实现了近乎最优的轮次复杂度，且无需额外的低度数边集。通过引入一种用于近乎平衡、低导出率切割的分布式近似方法，该方法使三角形枚举算法的运行时间达到 Õ(n¹ᐟ³) 轮——与已知的下界相比，仅相差多对数因子。

ABSTRACT

An $(ε,ϕ)$-expander decomposition of a graph $G=(V,E)$ is a clustering of the vertices $V=V_{1}\cup\cdots\cup V_{x}$ such that (1) each cluster $V_{i}$ induces subgraph with conductance at least $ϕ$, and (2) the number of inter-cluster edges is at most $ε|E|$. In this paper, we give an improved distributed expander decomposition. Specifically, we construct an $(ε,ϕ)$-expander decomposition with $ϕ=(ε/\log n)^{2^{O(k)}}$ in $O(n^{2/k}\cdot ext{poly}(1/ϕ,\log n))$ rounds for any $ε\in(0,1)$ and positive integer $k$. For example, a $(0.01,1/ ext{poly}\log n)$-expander decomposition can be computed in $O(n^γ)$ rounds, for any arbitrarily small constant $γ>0$. Previously, the algorithm by Chang, Pettie, and Zhang can construct a $(1/6,1/ ext{poly}\log n)$-expander decomposition using $ ilde{O}(n^{1-δ})$ rounds for any $δ>0$, with a caveat that the algorithm is allowed to throw away a set of edges into an extra part which forms a subgraph with arboricity at most $n^δ$. Our algorithm does not have this caveat. By slightly modifying the distributed algorithm for routing on expanders by Ghaffari, Kuhn and Su [PODC'17], we obtain a triangle enumeration algorithm using $ ilde{O}(n^{1/3})$ rounds. This matches the lower bound by Izumi and Le Gall [PODC'17] and Pandurangan, Robinson and Scquizzato [SPAA'18] of $ ildeΩ(n^{1/3})$ which holds even in the CONGESTED CLIQUE model. This provides the first non-trivial example for a distributed problem that has essentially the same complexity (up to a polylogarithmic factor) in both CONGEST and CONGESTED CLIQUE. The key technique in our proof is the first distributed approximation algorithm for finding a low conductance cut that is as balanced as possible. Previous distributed sparse cut algorithms do not have this nearly most balanced guarantee.

研究动机与目标

• 设计一种在 CONGEST 模型中进行分布式展开图分解的算法，避免像以往工作那样依赖额外的低度数边集。
• 通过利用改进的展开图分解，实现三角形枚举的近乎最优轮次复杂度。
• 开发一种用于寻找近乎平衡、低导出率切割的分布式算法，这是以往方法中的关键技术挑战。
• 缩小 CONGEST 模型中三角形枚举的上下界差距，实现近似最优性。
• 证明 CONGEST 模型可以实现与更强大的 CONGESTED-CLIQUE 模型在非平凡问题上几乎相同的复杂度。

提出的方法

• 提出一种新的分布式近似算法，用于寻找尽可能平衡的低导出率切割，这是对以往稀疏切割算法的关键创新。
• 采用基于参数化直径阈值的递归聚类过程，并将图动态分解为高直径部分和稀疏部分。
• 使用局部探索机制识别邻接边数较少的顶点，从而实现高效组件合并。
• 应用一种分布式不变量（记为 ℋ），确保各组件保持有界直径且组件间边数较少。
• 通过在有界半径内迭代合并组件，利用唯一标识符和局部协调，实现低直径分解过程。
• 将展开图分解与改进的展开图上的路由算法相结合，以实现高效的三角形枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖额外低度数边集的前提下，在 CONGEST 模型中计算展开图分解？
• RQ2 在 CONGEST 模型中，分布式三角形枚举的最优轮次复杂度是多少？
• RQ3 是否可以设计一种分布式算法，使其在 CONGEST 模型中的复杂度与在更强大的 CONGESTED-CLIQUE 模型中几乎相同？
• RQ4 是否存在一种高效的分布式算法，能够在 CONGEST 模型中找到近乎平衡、低导出率的切割？
• RQ5 三角形枚举的最紧可能轮次复杂度是多少？能否通过构造性算法实现该复杂度？

主要发现

• 在 $O(n^{2/k} \cdot \text{poly}(1/\phi, \log n))$ 轮内实现了 $(\epsilon,\phi)$-展开图分解，其中 $\phi = (\epsilon / \log n)^{2^{O(k)}}$，对任意 $k \geq 1$ 成立。
• 在 $O(n^{o(1)})$ 轮内实现了 $(1/n^{o(1)}, 1/n^{o(1)})$-展开图分解，该复杂度在子多项式因子内为最优。
• 在 $O(n^{\gamma})$ 轮内实现了 $(0.01, 1/\text{poly} \log n)$-展开图分解，其复杂度与文献中已知的最佳结果一致。
• 三角形枚举算法在 $\tilde{O}(n^{1/3})$ 轮内运行，与 CONGESTED-CLIQUE 模型中已知的 $\tilde{\Omega}(n^{1/3})$ 下界完全匹配。
• 这是首个在分布式计算中，其在 CONGEST 模型中的复杂度与在 CONGESTED-CLIQUE 模型中几乎相同（仅相差多对数因子）的非平凡问题。
• 所提出的算法避免了将边丢弃到低度数部分的需要，与以往工作不同，因此更具鲁棒性和实用性。