[论文解读] Improved Multi-Pass Streaming Algorithms for Submodular Maximization with Matroid Constraints

Chien‐Chung Huang, Theophile Thiery+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本文提出了针对 p-匹配主约束下单调与非负子模函数最大化的改进多轮流算法，以 O(p/ε) 轮次和 O(k) 空间实现 (p+1+ε) 近似。该方法扩展至一般子模函数，通过 O(p³k log k / ε³) 空间和 O(p/ε) 轮次实现 (p+1+γ̄_off+O(ε)) 近似，其性能与离线算法相比仅差 ε 近似，且轮次与内存使用量最小。

ABSTRACT

We give improved multi-pass streaming algorithms for the problem of maximizing a monotone or arbitrary non-negative submodular function subject to a general $p$-matchoid constraint in the model in which elements of the ground set arrive one at a time in a stream. The family of constraints we consider generalizes both the intersection of $p$ arbitrary matroid constraints and $p$-uniform hypergraph matching. For monotone submodular functions, our algorithm attains a guarantee of $p+1+\varepsilon$ using $O(p/\varepsilon)$-passes and requires storing only $O(k)$ elements, where $k$ is the maximum size of feasible solution. This immediately gives an $O(1/\varepsilon)$-pass $(2+\varepsilon)$-approximation algorithms for monotone submodular maximization in a matroid and $(3+\varepsilon)$-approximation for monotone submodular matching. Our algorithm is oblivious to the choice $\varepsilon$ and can be stopped after any number of passes, delivering the appropriate guarantee. We extend our techniques to obtain the first multi-pass streaming algorithm for general, non-negative submodular functions subject to a $p$-matchoid constraint with a number of passes independent of the size of the ground set and $k$. We show that a randomized $O(p/\varepsilon)$-pass algorithm storing $O(p^3k\log(k)/\varepsilon^3)$ elements gives a $(p+1+\barγ+O(\varepsilon))$-approximation, where $\bar{gamma}$ is the guarantee of the best-known offline algorithm for the same problem.

研究动机与目标

• 解决在内存受限的流模型下，p-匹配主约束下子模函数最大化的挑战。
• 改进现有流算法，使其近似保证优于离线对应算法。
• 设计一种多轮流算法，使单调子模函数的最大化性能逼近离线局部搜索算法。
• 将该框架扩展至处理一般非负子模函数（非必单调）在 p-匹配主约束下的情形。
• 在使用与基集大小无关的常数轮次下，实现接近最佳已知离线算法的近似比。

提出的方法

• 采用一种随机化流局部搜索算法，通过多轮处理元素，维护大小为 O(k/ε²) 的缓冲区。
• 在每轮中，通过从缓冲区中选择能提升当前解的元素进行局部搜索，当缓冲区满时采用随机选择机制。
• 基于子模性与集中不等式进行概率分析，以限制多轮中期望边际增益的上界。
• 利用引理 4.1（来自 Buchbinder 等人）来下界估计所选集合与最优解并集的期望函数值。
• 使用对 f(OPT) 的猜测估计来设定阈值 α = ε·f(OPT)/(2k)，通过二分查找或倍增法实现空间高效的近似。
• 通过多轮组合模拟离线局部搜索行为，确保单调函数的解收敛至 (p+1+ε) 倍 OPT 以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 多轮流算法能否在 p-匹配主约束下，对单调子模函数最大化的近似比接近离线局部搜索算法？
• RQ2 在 p-匹配主约束下的流子模函数最大化中，轮次数、空间使用量与近似比之间的权衡关系如何？
• RQ3 该框架能否扩展至非负（非必单调）子模函数，同时保持常数轮次与低空间消耗？
• RQ4 近似保证与同一问题下最佳已知离线算法的性能之间有何关系？
• RQ5 为实现相对于单调子模函数离线最优解的 (1+ε) 近似，所需的最少轮次数是多少？

主要发现

• 对于单调子模函数，该算法以 O(p/ε) 轮次和 O(k) 空间实现 (p+1+ε) 近似。
• 对于拟阵约束，该算法实现 (2+ε) 近似；对于图匹配约束，实现 (3+ε) 近似。
• 对于一般非负子模函数，该算法以 O(p/ε) 轮次和 O(p³k log k / ε³) 空间实现 (p+1+γ̄_off+O(ε)) 近似。
• 该算法对 ε 具有无感知性：可在任意轮次后停止，仍能提供与已执行轮次数成比例的保证。
• 分析依赖于对多轮中元素被选中的概率进行有界，并利用子模性将解的增长与 OPT 关联。
• 空间复杂度近乎最优，仅在 k 上有对数因子，且轮次数与基集大小无关。