[论文解读] Improved Parameterized Algorithms for Constraint Satisfaction

Eun Jung Kim, Ryan Williams|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文提出了约束满足问题（CSPs）在平均值之上的改进参数化算法，重点关注有界arity的布尔CSPs与排列CSPs。通过将实例通过双核化（bikernelization）简化为含有O(k)个变量的等价实例，作者实现了2^O(k)-时间复杂度的算法，从而为Max-c-Sat、Set-Splitting和Betweenness等问题在“高于平均值”参数化下提供了高效的精确解法。

ABSTRACT

For many constraint satisfaction problems, the algorithm which chooses a random assignment achieves the best possible approximation ratio. For instance, a simple random assignment for {\sc Max-E3-Sat} allows 7/8-approximation and for every $\eps >0$ there is no polynomial-time ($7/8+\eps$)-approximation unless P=NP. Another example is the {\sc Permutation CSP} of bounded arity. Given the expected fraction $ρ$ of the constraints satisfied by a random assignment (i.e. permutation), there is no $(ρ+\eps)$-approximation algorithm for every $\eps >0$, assuming the Unique Games Conjecture (UGC). In this work, we consider the following parameterization of constraint satisfaction problems. Given a set of $m$ constraints of constant arity, can we satisfy at least $ρm +k$ constraint, where $ρ$ is the expected fraction of constraints satisfied by a random assignment? {\sc Constraint Satisfaction Problems above Average} have been posed in different forms in the literature \cite{Niedermeier2006,MahajanRamanSikdar09}. We present a faster parameterized algorithm for deciding whether $m/2+k/2$ equations can be simultaneously satisfied over ${\mathbb F}_2$. As a consequence, we obtain $O(k)$-variable bikernels for {\sc boolean CSPs} of arity $c$ for every fixed $c$, and for {\sc permutation CSPs} of arity 3. This implies linear bikernels for many problems under the "above average" parameterization, such as {\sc Max-$c$-Sat}, {\sc Set-Splitting}, {\sc Betweenness} and {\sc Max Acyclic Subgraph}. As a result, all the parameterized problems we consider in this paper admit $2^{O(k)}$-time algorithms. We also obtain non-trivial hybrid algorithms for every Max $c$-CSP: for every instance $I$, we can either approximate $I$ beyond the random assignment threshold in polynomial time, or we can find an optimal solution to $I$ in subexponential time.

研究动机与目标

• 解决随机赋值预期性能之上的CSPs的计算复杂性问题。
• 为那些目标是满足超过随机赋值预期比例约束的CSPs设计高效的参数化算法。
• 在“高于平均值”参数化下，为各种CSPs提供线性双核化（linear bikernels），以实现固定参数可满足性算法。
• 通过结合多项式时间近似与精确计算，为Max-c-CSPs建立亚指数时间算法。

提出的方法

• 提出一种参数化框架，其中参数为超出预期平均值（ρm + k）的约束满足数量。
• 将布尔与排列CSPs映射为等价的Max-c-Lin-2 Above Average实例，且变量数为O(k)。
• 使用双核化预处理实例，将其转化为大小与k线性相关的等价实例，确保固定参数可满足性。
• 利用动态规划技术（类似Held-Karp）在O*(2^n)时间内求解约简后的实例，其中n = O(k)。
• 构建多重线性多项式表示以追踪变量出现次数，确保约简过程的正确性。
• 利用不可约实例的结构特性与约束对称性，对约简后问题中的变量数量进行界定。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为超越随机赋值性能的CSPs设计更快的参数化算法？
• RQ2 在“高于平均值”参数化下，布尔与排列CSPs的最小问题核大小是多少？
• RQ3 通过结合近似与精确计算，能否为Max-c-CSPs实现亚指数时间算法？
• RQ4 双核化在有界arity的CSPs（特别是线性排序与排列约束）中可应用到何种程度？
• RQ5 不可约实例的结构在多大程度上限制了约简后问题中的变量数量？

主要发现

• 作者为所有arity为c的布尔CSPs以及arity为3的排列CSPs实现了O(k)大小的双核化，从而获得固定参数可满足性算法。
• 对于Max-c-Permutation CSP Above Average，本文基于问题核化与动态规划，为c = 2和c = 3建立了2^O(k)-时间算法。
• 在不可约的无解实例中，3-Linear Ordering的核中变量数被限制在15k以内，2-Linear Ordering为10k以内。
• 使用精确的O*(2^n)-时间算法求解3-Linear Ordering实例，从而实现整体2^O(k)-时间复杂度。
• 该框架支持混合算法：要么在多项式时间内近似求解超过随机阈值的问题，要么在亚指数时间内找到最优解。
• 结果对加权约束与arity为2的约束具有鲁棒性，且可直接推广至此类情况。