[论文解读] Improved recovery guarantees and sampling strategies for TV minimization in compressive imaging

Ben Adcock, Nick Dexter+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用 12

一句话总结

本文针对使用傅里叶变换和沃尔什-哈达玛变换的压缩成像中的总变分（TV）最小化，提出了改进的理论恢复保证和最优采样策略。研究证明，在随机采样下，$ m \gtrsim s \times \log^2(s) \times \log^4(N) $ 个测量值足以在 $ d \geq 1 $ 个维度下实现稳定且鲁棒的恢复，相比先前结果在二维中改进了 $ \log(s) \times \log(N) $ 因子，并首次为结构化二进制沃尔什采样提供了此类保证。

ABSTRACT

In this paper, we consider the use of Total Variation (TV) minimization for compressive imaging; that is, image reconstruction from subsampled measurements. Focusing on two important imaging modalities -- namely, Fourier imaging and structured binary imaging via the Walsh--Hadamard transform -- we derive uniform recovery guarantees asserting stable and robust recovery for arbitrary random sampling strategies. Using this, we then derive a class of theoretically-optimal sampling strategies. For Fourier sampling, we show recovery of an image with approximately $s$-sparse gradient from $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^4(N)$ measurements, in $d \geq 1$ dimensions. When $d = 2$, this improves the current state-of-the-art result by a factor of $\log(s) \cdot \log(N)$. It also extends it to arbitrary dimensions $d \geq 2$. For Walsh sampling, we prove that $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^2(N/s) \cdot \log^3(N) $ measurements suffice in $d \geq 2$ dimensions. To the best of our knowledge, this is the first recovery guarantee for structured binary sampling with TV minimization.

研究动机与目标

• 在傅里叶变换和结构化二进制（沃尔什-哈达玛）采样下，针对任意随机采样策略，建立TV最小化在压缩成像中的统一恢复保证。
• 推导理论上最优的采样策略，以最小化实现稳定和鲁棒图像重建所需的测量数量。
• 改进现有TV最小化在压缩成像中的恢复界，特别是针对二维及更高维图像。
• 为使用沃尔什-哈达玛变换的结构化二进制采样下的TV最小化提供首个理论恢复保证。
• 根据梯度稀疏度 $ s $ 和图像大小 $ N $，量化准确重建所需的测量数 $ m $

提出的方法

• 利用压缩感知理论，推导出在随机采样下TV最小化的统一恢复保证，确保对噪声的稳定性和鲁棒性。
• 通过TV半范数与哈尔小波系数之间的联系，分析梯度稀疏度和恢复误差。
• 通过傅里叶变换和沃尔什-哈达玛变换下随机采样矩阵的概率分析，推导出测量界。
• 将恢复问题表述为梯度的约束 $ \ell^1 $-最小化，其中噪声约束为 $ \|Az - y\|_{\ell^2} \leq \eta $。
• 提出一种新颖的分析框架，以处理多维情况下各向同性TV半范数的 $ \ell^{2,1} $-范数结构。
• 应用高维概率和随机矩阵理论的结果，以界定梯度稀疏信号的限制等距性质（RIP）

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机傅里叶采样下，通过TV最小化稳定恢复具有 $ s $-稀疏梯度的 $ d $-维图像，所需的最小测量数 $ m $ 是多少？
• RQ2 TV最小化的理论恢复保证能否扩展到基于傅里叶变换的压缩成像中的高维图像（$ d \geq 2 $）？
• RQ3 使用沃尔什-哈达玛变换进行压缩成像时，TV最小化的最优采样策略是什么？
• RQ4 能否为TV最小化建立结构化二进制采样的统一恢复保证，尽管该设置下此前缺乏理论结果？
• RQ5 与现有最先进结果相比，新界在 $ s $、$ N $ 和 $ d $ 上的依赖关系如何？

主要发现

• 对于 $ d $-维傅里叶采样，$ m \gtrsim s \cdot \log^2(s) \cdot \log^4(N) $ 个测量值足以实现具有 $ s $-稀疏梯度图像的稳定且鲁棒的恢复。
• 在二维情况下，该结果相比先前最先进界改进了 $ \log(s) \cdot \log(N) $ 因子，实现了显著的定量提升。
• 该恢复保证可推广至任意维度 $ d \geq 1 $，为多维压缩成像提供了通用框架。
• 对于结构化二进制沃尔什-哈达玛采样，$ m \gtrsim s \cdot \log^2(s) \cdot \log^2(N/s) \cdot \log^3(N) $ 个测量值已足够，这是该设置下的首个理论保证。
• 结果建立了统一的恢复保证，意味着单次随机采样即可以高概率恢复所有近似梯度稀疏图像。
• 推导出的界在对数因子范围内是最优的，且所提出的采样策略在最小化测量数量方面具有理论最优性。