[论文解读] Improving Quantum Algorithms for Quantum Chemistry

M. B. Hastings, D. Wecker+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文通过多项优化显著提升了量子化学模拟中量子算法的效率与精度。该工作将 Jordan-Wigner 变换的开销降低至常数级别，且无需额外的辅助量子比特；实现了并行化以降低电路深度；通过重新排序 Trotter-Suzuki 项减少误差；并修改哈密顿量以校正 Trotter 步长误差，最终使真实分子的量子门数显著减少，精度得到提升。

ABSTRACT

We present several improvements to the standard Trotter-Suzuki based algorithms used in the simulation of quantum chemistry on a quantum computer. First, we modify how Jordan-Wigner transformations are implemented to reduce their cost from linear or logarithmic in the number of orbitals to a constant. Our modification does not require additional ancilla qubits. Then, we demonstrate how many operations can be parallelized, leading to a further linear decrease in the parallel depth of the circuit, at the cost of a small constant factor increase in number of qubits required. Thirdly, we modify the term order in the Trotter-Suzuki decomposition, significantly reducing the error at given Trotter-Suzuki timestep. A final improvement modifies the Hamiltonian to reduce errors introduced by the non-zero Trotter-Suzuki timestep. All of these techniques are validated using numerical simulation and detailed gate counts are given for realistic molecules.

研究动机与目标

• 为解决在量子计算机上模拟量子化学时资源消耗过高的问题，特别是标准 Trotter-Suzuki 与 Jordan-Wigner 实现带来的 $ O(N^5) $ 门数开销。
• 在不增加额外辅助量子比特的前提下，将 Jordan-Wigner 变换的开销从线性或对数级降低至常数级。
• 通过并行化操作降低电路深度，同时保持总门数不变。
• 通过调整项的排序与有效哈密顿量的修改，校正时间步长误差，从而在更大的 Trotter 步长下提升精度。
• 利用 LIQ$Ui| angle$ 量子模拟器对真实分子进行精确的数值验证，计算出准确的门数，从而可与现有方案直接比较。

提出的方法

• 提出一种改进的 Jordan-Wigner 电路，通过重新组织费米统计的编码方式，将门开销降低至常数，且不增加量子比特数量。
• 证明改进后的 Jordan-Wigner 电路可实现非对易项的并行化处理，使电路深度降低为与可并行操作数成比例的因子。
• 基于 Hartree-Fock 基底结构对 Trotter-Suzuki 分解中的项进行重排，以最小化每时间步的误差累积。
• 采用一种改进的哈密顿量，考虑非零 Trotter 步长的影响，有效校正演化过程中的时间序误差。
• 利用 LIQ$Ui| angle$ 模拟器进行数值仿真，验证改进效果并计算 H2、LiH 和 BeH2 等分子的精确门数。
• 采用一阶与二阶 Trotter-Suzuki 分解，分析表明，对于真实、非简并的哈密顿量，一阶 Trotter-Suzuki 可实现 $ O(1/n^2) $ 的基态能量误差标度，原因在于误差项的期望值趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在不增加量子比特数量的前提下，将 Jordan-Wigner 变换的开销从线性或对数级降低至常数级？
• RQ2 量子化学哈密顿量中非对易项的并行化程度在多大程度上可降低电路深度？
• RQ3 对 Trotter-Suzuki 分解中的项进行重排，对给定时间步的误差有何影响？
• RQ4 通过修改有效哈密顿量，能否减少非零 Trotter 步长引入的误差，从而允许使用更大的时间步？
• RQ5 在应用这些优化后，真实分子的实际门数减少程度如何？该结果是否通过数值模拟得到验证？

主要发现

• 改进的 Jordan-Wigner 电路将门开销降低至常数，消除了标准实现中出现的 $ O(N) $ 或 $ O(\log N) $ 成本。
• 通过操作并行化，电路深度降低为与可并行化项数成比例的因子，同时保持总门数不变。
• 基于 Hartree-Fock 基底结构对 Trotter-Suzuki 项进行重排，显著降低了每时间步的误差。
• 改进的哈密顿量方法可校正非零 Trotter 步长引起的误差，使在比标准方法更大的时间步长下仍能获得准确结果。
• 对于 H2、LiH 和 BeH2 等真实分子，所提出的优化在 LIQ$Ui| angle$ 模拟器的数值仿真中验证了总门数与电路深度的显著减少。
• 研究发现，对于真实、非简并的哈密顿量，一阶 Trotter-Suzuki 实现了 $ O(1/n^2) $ 的基态能量误差标度，这与预期的 $ O(1/n) $ 标度不同，原因在于误差项的期望值趋于零。