[论文解读] In--out intermittency in PDE and ODE models

Eurico Covas, Reza Tavakol+3 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2001

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies被引用 20

一句话总结

本文首次为轴对称平均场发电机模型中的in–out间歇性提供了确凿证据，表明这种新型间歇行为——由于非斜积动力学结构导致的交替‘in’与‘out’相位——在具有不变子流形的系统中出现，并表现出独特的统计标度特性。关键贡献在于在物理上相关的发电机模型中识别出in–out间歇性，提示其对理解太阳及恒星磁场活动变化的重要性。

ABSTRACT

We find concrete evidence for a recently discovered form of intermittency, referred to as in--out intermittency, in both PDE and ODE models of mean field dynamos. This type of intermittency (introduced in Ashwin et al 1999) occurs in systems with invariant submanifolds and, as opposed to on--off intermittency which can also occur in skew product systems, it requires an absence of skew product structure. By this we mean that the dynamics on the attractor intermittent to the invariant manifold cannot be expressed simply as the dynamics on the invariant subspace forcing the transverse dynamics; the transverse dynamics will alter that tangential to the invariant subspace when one is far enough away from the invariant manifold. Since general systems with invariant submanifolds are not likely to have skew product structure, this type of behaviour may be of physical relevance in a variety of dynamical settings. The models employed here to demonstrate in--out intermittency are axisymmetric mean--field dynamo models which are often used to study the observed large scale magnetic variability in the Sun and solar-type stars. The occurrence of this type of intermittency in such models may be of interest in understanding some aspects of such variabilities.

研究动机与目标

• 证明用于研究太阳及类太阳恒星大尺度磁场变化的平均场发电机ODE与PDE模型中存在in–out间歇性。
• 探究最近提出的、要求缺失斜积结构的in–out间歇性是否存在于超越简单映射的现实动力系统中。
• 证实in–out间歇性可在不具有简化斜积结构但具有不变子流形的系统中被观测到，从而扩展了已知间歇动力学的适用范围。
• 验证这些模型中层流相持续时间的理论标度律，确认in–out间歇性的统计特征。

提出的方法

• 在已知支持磁场活动的参数范围内，对截断的ODE模型和完整的PDE平均场发电机模型（方程3）进行数值积分。
• 采用时间序列分析检测‘out’相期间横向模态能量的周期锁定与指数增长，这是in–out间歇性的特征。
• 对层流相持续时间的分布进行统计分析，检验其与理论标度律（1）的兼容性，该标度律预测在小持续时间下呈n−3/2幂律衰减，并在较大持续时间处出现明显肩峰。
• 在可视化中采用时间采样方法，以增强ODE与PDE系统中周期锁定与间歇爆发的可见性。
• 采用两种不同的α-抑制形式：标准代数形式（α = α₀/(1 + B²)）与Kitchatinov形式，以检验结果在不同参数化下的鲁棒性。
• 使用已建立的数值代码（见[10]与[19]）以确保PDE长时间积分的精度与一致性，从而实现统计收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 in–out间歇性是否出现在更复杂且更接近物理现实的平均场发电机PDE模型中？
• RQ2 in–out间歇性的统计特征——特别是层流相分布中n−3/2标度与肩峰——是否可在ODE与PDE模型中同时观察到？
• RQ3 非斜积结构的存在是否为in–out间歇性的必要条件？该条件在真实发电机模型中是否成立？
• RQ4 通过相空间与统计分析，能否将观测到的间歇行为与on–off间歇性区分开来？
• RQ5 不变子流形的内部动力学（如周期吸引子）在实现in–out间歇性的‘in’与‘out’相位中起到何种作用？

主要发现

• 在截断的ODE与完整的PDE平均场发电机模型中均观测到in–out间歇性，相空间轨迹与统计分布中均有清晰的特征。
• ODE与PDE模型中层流相持续时间的分布，在小持续时间下表现出预测的n−3/2标度，且在较大持续时间处出现明显肩峰，证实了in–out间歇性的理论标度（1）。
• PDE模型在‘out’相期间表现出横向模态能量的指数增长，跨越多个数量级，与ODE模型中的行为一致。
• 在ODE与PDE模型中，系统在‘out’相期间的周期锁定现象通过视觉与统计手段均得到确认，表明间歇爆发期间存在相干动力学。
• 该现象在对称与反对称的不变子流形中均出现，表明其在发电机模型不同结构配置下具有鲁棒性。
• 尽管计算成本高昂，PDE模型仍实现了足够长的积分时间以实现理论标度的收敛，图7清晰显示了层流相分布中肩峰特征的证据。