[论文解读] In simply-connected cotangent bundles, exact Lagrangian cobordisms are h-cobordisms

Hiro TANAKA|ArXiv.org|Apr 24, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明了在单连通的余切丛 $T^*Q$ 中，任意两个紧致精确拉格朗日子流形之间的紧致精确拉格朗日子流形cobordism 是一个 h-cobordism。该结果基于 Abouzaid-Kragh 定理，该定理表明此类拉格朗日子流形同伦等价于 $Q$，并通过使用 van Kampen 和 Mayer-Vietoris 技术的双cobordism论证，证明该cobordism在同伦群和同调群上诱导同构。

ABSTRACT

We show that if Q is simply connected, every exact Lagrangian cobordism between compact, exact Lagrangians in the cotangent bundle of Q is an h-cobordism. The result is an exercise in basic algebraic topology once one invokes the Abouzaid-Kragh theorem.

研究动机与目标

• 建立在 $Q$ 单连通时，$T^*Q$ 中的精确拉格朗日子流形cobordism 是 h-cobordism 的结论。
• 通过分析 $T^*Q$ 中的cobordism类，为邻近拉格朗日子流形猜想提供新方法。
• 支持Fukaya范畴等价类可通过cobordism不变量分类精确拉格朗日子流形的观点。
• 证明非紧致cobordism在精确拉格朗日子流形范畴中至关重要，因为紧致的cobordism在同伦意义下是平凡的。
• 通过将cobordism理论与镜像对称及Floer理论不变量联系起来，拓展对辛拓扑的理解。

提出的方法

• 使用 Abouzaid-Kragh 定理证明当 $Q$ 单连通时，$T^*Q$ 中任意紧致精确拉格朗日子流形同伦等价于 $Q$。
• 构造cobordism $Y_{01} \circ (Y_{01})^{\text{op}}$ 的双倍，形成 $T^*(Q \times S^1)$ 中的紧致精确拉格朗日子流形 $\overline{N}$。
• 对 $\overline{N}$ 应用 Abouzaid-Kragh 定理，证明投影 $\overline{N} \to Q \times S^1$ 是同伦等价。
• 使用范畴的上积图和 van Kampen 定理证明 $\pi_1(N) = 0$，从而得出基本群平凡。
• 应用 Whitehead 定理和 Hurewicz 定理，得出 $N$ 同伦等价于 $Q \times I$，因此是 h-cobordism。
• 使用 Mayer-Vietoris 和 van Kampen 论证，证明原始cobordism $Y_{01}$ 是单连通的，并在同调群上诱导同构，从而确认其为 h-cobordism。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$T^*Q$ 中的精确拉格朗日子流形cobordism 是 h-cobordism？
• RQ2 通过cobordism类对精确拉格朗日子流形进行分类，是否有助于解决邻近拉格朗日子流形猜想？
• RQ3 精确拉格朗日子流形cobordism 的 h-cobordism 性质如何与其在 Fukaya 范畴中的行为相关？
• RQ4 基本群 $\pi_1(Q)$ 在决定精确拉格朗日子流形cobordism 的拓扑类型中起什么作用？
• RQ5 双cobordism 构造能否用于检测辛cobordism 中的同伦平凡性？

主要发现

• 当 $Q$ 单连通时，$T^*Q$ 中任意两个紧致精确拉格朗日子流形之间的紧致精确拉格朗日子流形cobordism 是 h-cobordism。
• 此类cobordism 的双倍形成 $T^*(Q \times S^1)$ 中的紧致精确拉格朗日子流形，根据 Abouzaid-Kragh 定理，其同伦等价于 $Q \times S^1$。
• 通过使用 van Kampen 定理的范畴上积图论证，得出双cobordism $N$ 的基本群为平凡。
• 双cobordism 两端的拉格朗日子流形包含映射是同伦等价，从而确认 $N$ 是 h-cobordism。
• 通过 Mayer-Vietoris 和 van Kampen 论证，证明原始cobordism $Y_{01}$ 是 h-cobordism，因其为单连通且在同调群上诱导同构。
• 当 $\dim Q \geq 5$ 时，推论 2 表明，任何通过精确cobordism 相连的两个紧致精确拉格朗日子流形都微分同胚，这是由于 h-cobordism 定理。