[论文解读] Independence of synthetic Curvature Dimension conditions on transport distance exponent

Afiny Akdemir, Fabio Cavalletti+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 42被引用 7

一句话总结

本文在非分支度量测度空间中建立了所有 $p>1$ 的合成曲率-维数条件 $σ_{p}(K,N)$ 的等价性，表明选择 $p$-Wasserstein 距离作为运输成本并不影响曲率-维数理论。关键洞见在于使用 $L^1$-最优运输和针分解，统一了不同 $p$ 下的条件，证明了 $σ_p(K,N)$ 蕴含 $σ_q(K,N)$ 对所有 $p,q>1$ 成立，并建立了这些条件的局部到整体性质。

ABSTRACT

The celebrated Lott-Sturm-Villani theory of metric measure spaces furnishes synthetic notions of a Ricci curvature lower bound $K$ joint with an upper bound $N$ on the dimension. Their condition, called the Curvature-Dimension condition and denoted by $\\mathrm{CD}(K,N)$, is formulated in terms of a modified displacement convexity of an entropy functional along $W_{2}$-Wasserstein geodesics. We show that the choice of the squared-distance function as transport cost does not influence the theory. By denoting with $\\mathrm{CD}_{p}(K,N)$ the analogous condition but with the cost as the $p^{th}$ power of the distance, we show that $\\mathrm{CD}_{p}(K,N)$ are all equivalent conditions for any $p>1$ -- at least in spaces whose geodesics do not branch. We show that the trait d'union between all the seemingly unrelated $\\mathrm{CD}_{p}(K,N)$ conditions is the needle decomposition or localization technique associated to the $L^{1}$-optimal transport problem. We also establish the local-to-global property of $\\mathrm{CD}_{p}(K,N)$ spaces.

研究动机与目标

• 确定在曲率-维数条件 $σ_p(K,N)$ 中选择 $p$-Wasserstein 距离是否会影响合成 Ricci 曲率和维数界。
• 在非分支度量测度空间中建立所有 $p>1$ 的 $σ_p(K,N)$ 条件的等价性。
• 通过 $L^1$-最优运输和针分解技术，扩展 $σ_p(K,N)$ 空间的局部到整体性质。
• 通过带符号距离函数梯度流线（运输射线）的共享结构，统一看似不同的 $σ_p(K,N)$ 条件。

提出的方法

• 使用 $L^1$-最优运输框架和针分解，通过运输射线的纽带特性，将不同 $p>1$ 的 $p$-Wasserstein 条件联系起来。
• 应用带指数 $p$ 的 Hopf-Lax 变换，沿测地线推导 Kantorovich 潜势的一阶、二阶和三阶不等式。
• 在定理 5.10 中使用变量替换公式，基于 $σ^{1}_{ρ}(K,N)$ 条件，关联不同 $p$-成本下测地线上的密度。
• 证明函数 $t \mapsto \rho_t(\gamma_t)$ 上半连续，且满足先凹后凸的结构，从而可应用 Hölder 不等式。
• 使用 $\mathsf{CD}^{1}_{\text{Lip}}(K,N)$ 条件验证定理 5.12 的假设，确保 $\mathsf{CD}_q(K,N)$ 不等式在 $W_q$-测地线上成立。
• 应用 $\sigma_{K,N}^{(\alpha)}$ 和 $\tau_{K,N}^{(\alpha)}$ 变形系数，推导熵泛函所需的位移凸性不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在度量测度空间中，运输成本 $\mathsf{d}^p$ 的选择是否会影响合成曲率-维数条件 $\mathsf{CD}_p(K,N)$？
• RQ2 在非分支空间中，不同 $p>1$ 的 $\mathsf{CD}_p(K,N)$ 条件是否等价？
• RQ3 $L^1$-最优运输框架和针分解能否作为 $p>1$ 下 $\mathsf{CD}_p(K,N)$ 条件的统一机制？
• RQ4 $\mathsf{CD}_p(K,N)$ 空间的局部到整体性质是否对所有 $p>1$ 成立？
• RQ5 $\mathsf{CD}_p(K,N)$ 条件在 $p$-成本改变时是否保持不变，特别是当 $p \to 1$ 和 $p \to q>1$ 时？

主要发现

• 在非分支度量测度空间中，所有 $p>1$ 的 $\mathsf{CD}_p(K,N)$ 条件是等价的，意味着选择 $p$-Wasserstein 成本不会改变合成曲率-维数界。
• $L^1$-最优运输框架和针分解作为统一机制，通过运输射线的行为将所有 $p>1$ 的 $\mathsf{CD}_p(K,N)$ 条件联系起来。
• 函数 $t \mapsto \rho_t(\gamma_t)$ 在端点处上半连续，且满足 $1/\rho_t(\gamma_t) = L(t)Y(t)$，其中 $L$ 为凹函数，$Y$ 为 $\mathsf{CD}(K_0,N)$ 密度，从而可应用 Hölder 不等式。
• $\mathsf{CD}_q(K,N)$ 不等式在 $W_q$-测地线上成立，如通过变形系数 $\tau_{K,N}^{(\alpha)}(\mathsf{d}(\gamma_0,\gamma_1))$ 和推导出的不等式 (5.24) 所示。
• 在 $\varphi$-支集内长度为零的测地线上，由于密度恒定且 $\tau_{K,N}^{(\alpha)}(0) = \alpha$，$\mathsf{CD}_q(K,N)$ 条件平凡地以等式成立。
• 局部到整体性质成立：若 $(X,\mathsf{d},\mathfrak{m})$ 是 $p$-本质非分支的、长度空间，且满足 $\mathsf{CD}_{p,loc}(K,N)$，则其满足 $\mathsf{CD}_p(K,N)$。