[论文解读] Induced Disjoint Paths in Claw-Free Graphs

Petr A. Golovach, Daniël Paulusma+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文证明了在爪形图中，当参数为 k 时，诱导不相交路径问题具有固定参数可追踪性，方法结合了结构图论与对准线图的动态规划。关键贡献是针对固定 k 的多项式时间算法，紧致性结果表明，在标准复杂性假设下，向 K₁,₄-自由图或多项式内核的扩展极不可能。

ABSTRACT

Paths P1,...,Pk in a graph G=(V,E) are said to be mutually induced if for any 1 <= i < j <= k, Pi and Pj have neither common vertices nor adjacent vertices (except perhaps their end-vertices). The Induced Disjoint Paths problem is to test whether a graph G with k pairs of specified vertices (si,ti) contains k mutually induced paths Pi such that Pi connects si and ti for i=1,...,k. We show that this problem is fixed-parameter tractable for claw-free graphs when parameterized by k. Several related problems, such as the k-in-a-Path problem, are proven to be fixed-parameter tractable for claw-free graphs as well. We show that an improvement of these results in certain directions is unlikely, for example by noting that the Induced Disjoint Paths problem cannot have a polynomial kernel for line graphs (a type of claw-free graphs), unless NP \subseteq coNP/poly. Moreover, the problem becomes NP-complete, even when k=2, for the more general class of K_1,4-free graphs. Finally, we show that the n^O(k)-time algorithm of Fiala et al. for testing whether a claw-free graph contains some k-vertex graph H as a topological induced minor is essentially optimal by proving that this problem is W[1]-hard even if G and H are line graphs.

研究动机与目标

• 确定诱导不相交路径问题在爪形图中的参数复杂度。
• 将标准不相交路径问题的可追踪性结果扩展至特殊图类中的诱导变体。
• 通过分析向 k-在路径、k-在环等相关问题的约化，研究可追踪性的极限。
• 为线图和 K₁,₄-自由图等子类建立内核化与复杂度的下界。
• 探讨涉及重复终端对的推广问题的参数复杂度。

提出的方法

• 通过保持爪形特性的结构变换，将爪形图约化为准线图。
• 利用 Chudnovsky 和 Seymour 的刻画，对准线图的结构应用动态规划。
• 对固定 k 的准线图上的 k-诱导不相交路径问题使用多项式时间算法。
• 通过从已知难题的约化，证明线图上诱导拓扑子图问题的 W[1]-难解性。
• 在 K₁,₄-自由图上构造 2-诱导不相交路径及相关问题的 NP-完全性证明。
• 将不相交路径问题中的内核化下界技术适配至线图上的诱导不相交路径问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在爪形图中，诱导不相交路径问题对参数 k 是否具有固定参数可追踪性？
• RQ2 该问题能否在保留可追踪性的前提下扩展至 K₁,₄-自由图？
• RQ3 当参数为 k 时，线图上的诱导不相交路径问题是否具有多项式内核？
• RQ4 线图上诱导拓扑子图问题的参数复杂度如何？
• RQ5 允许重复终端对时，诱导不相交路径问题的复杂度如何变化？

主要发现

• 在爪形图中，诱导不相交路径问题对参数 k 具有固定参数可追踪性，时间复杂度为 n^O(k)。
• 在爪形图中，k-在路径、k-在环和 k-在树问题对参数 k 具有固定参数可追踪性。
• 在爪形图中，锚定诱导拓扑子图问题对目标图 H 中顶点数参数化时具有固定参数可追踪性。
• 在线图上，诱导不相交路径问题不存在多项式内核，除非 NP ⊆ coNP/poly。
• 即使在最大度为三的 K₁,₄-自由图上，2-诱导不相交路径问题仍是 NP-完全的。
• 即使在线图上，诱导拓扑子图问题也是 W[1]-难解的，表明 Fiala 等人的算法本质上是最优的。